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文字式の変形で全く検討がつきません

数学的帰納法の問題で 解説を見ても全く理解出来ない所が有ります。 問 2以上の全ての自然数nについて、不等式 Σ1/r^3(r=1からn)< 2-1/n^2 が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ 解説は Σ1/r^3(r=1からn)< 2-1/n^2・・・(1) [1]n=2のとき (1)の左辺=1+1/8=9/8 右辺=2-1/4=7/4 よって(1)は成り立つ [2] n=kの時(1)が成り立つと仮定する n=k+1の時を考えると、仮定から Σ1/r^3(r=1からk+1まで) =Σ1/r^3(r=1からk)+1/(k+1)^3< 2-1/k^2+1/(k+1)^3・・・(2) 見にくくて申し訳ないですが、 なぜ(k+1)のとき(2)の右辺が理解出来ません。 どなたかよろしくお願いします。

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みんなの回答

  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.2

 式(2)の左辺の第1項 Σ1/r^3(r=1からk) は、n=kのときの式(1)の左辺に相当するからです。  そのため、     Σ1/r^3(r=1からk)< 2-1/k^2 となります。  あとは、両辺に 1/(k+1)^3 を足し合わせれば、式(2)そのものになります。

  • settheory
  • ベストアンサー率48% (13/27)
回答No.1

それは帰納法の仮定を使っているからです。 (1からk+1までの和)=(1からkまでの和)+(k+1番目の項) 帰納法の仮定より、kまでの和なら、示そうとしている不等式が成立しています。(つまり、Σ1/r^3(r=1からn)< 2-1/n^2 のnにkを代入したもの ) よって(1からkまでの和)<2-1/k^2 となるので、これの両辺に(k+1番目の項)を足せばできあがりです。 帰納法の最大の利点は、一つ前までなら成立するということが利用できることです。わざわざ帰納法をやるのは、こういうことに頼らざるを得ない(頼ると楽)からです。帰納法の仮定を使わずに証明ができるのなら、最初から普通に証明できてしまうというこです。 

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