式の変形

質問

http://www.gifu-nct.ac.jp/elcon/labo/endo-n/endo/lecture/syscon/node2.html

上のページの2.8式の証明について何ですが、

(2.8)式について：

と書いてある、右辺の1行目の式から2行目の式へ何故変形できるのか分かりません。
九九の表のように右辺1行目の第一項を縦に、第二項を横列に取り、i行j列の要素となるような表を考えた場合、右辺2行目の式では、表の左上の要素から三角形を作るような範囲を埋め尽くすように無限に加算されていく形となり、四角形の範囲を埋め尽くすことにはならないと思うのですが、何故このような変換が出来るのでしょうか？

回答No.2

arrysthmia

{ Σ[i=0→∞] B(i) }{ Σ[j=0→∞] B(j) }
= Σ[n=0→∞] { Σ[i=0→n] B(i) B(n-j) }
という変形についてですね。

各 (i, j) の組合わせが、両辺に一回づつ現れているのは、
確認出るでしょう？ それが「埋め尽くす」ということです。

それよりも、その式のような Σ操作の順序変更は、
級数の収束が絶対収束でなければ成り立ちませんから、
収束性をチェックすることのほうが大切でしょう。

お礼

返信遅れてすみません。
解答ありがとうございます。

絶対収束ってどういう状態のことを言っているのですか？

回答No.1

noname#66248

これは集合論での、高々可付番の無限大を数えるのに相当します。
無限に広がる四角形を埋め尽くすのに順序を考えなければ、対角線を
無限に引き続けることによって、無限の四角形全面を埋め尽くすことが
出来るという場合に当たるのです。集合の濃度は”アレフゼロ”です。

お礼

返信遅れてすみません。
解答ありがとうございます。

アレフゼロって何なんでしょうか？