期待値Eの式変形について

質問

以下のサイトに期待値に関する公式が４つ挙げられています。
http://mathtrain.jp/exvarcov

また、共分散Cov(X,Y)の公式が
教科書では
Cov(X,Y) = E(X - E(X))(Y - E(Y)) .....(1)

上のサイトでは
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) .......(2)

とあるので、(1)と(2)は同値です。
しかしこの２つ(1)→(2)または(2)→(1)の式変形がわかりません。
恐らく上の「４つの期待値の公式」を使って変形できるのでしょうが、わからないので教えて頂けませんでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) .....(1)もとの式は括弧が足りないと思う。
期待値の中身を展開すると...
= E(XY -X*E(Y) - Y*E(X) +E(X)*E(Y))
公式3から...
= E(XY) -E(X*E(Y)) - E(Y*E(X)) +E(E(X)*E(Y))
公式1と「定数の期待値はその定数である」から
= E(XY) -E(X)*E(Y) - E(Y)*E(X) +E(X)*E(Y)
= E(XY) -E(X)*E(Y)

お礼

理解できました！ありがとうございます。