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円錐の表面積の不思議な関係とは？
- 円錐の表面積についての算数の問題について考えましょう。
- 円錐の底面積と母線の比から中心角を出し、面積を求めることができます。
- しかし、底面積の半径が大きくなると面積の比が変わってくることについて、疑問が生じます。なぜ面積の比が半径の比と一致しないのでしょうか？
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質問者が選んだベストアンサー
> この小円と大円の半径の比が10倍なのにどうして大きな面積と小さな円の 比が10倍にならないのですか？ どうして10倍になると思うのですか？単なる思い込みでしょう。 面積の計算をするときに半径を2回かけていますよね。それなら10倍の10倍で100倍になると考えるのが自然ではないですか。
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- yougamaster
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ＮＯ２の方に同意です。 面積を求めるとき、長さ（半径）を２回かけるので、拡大コピーした図形の面積は、（元の図形の面積）×（拡大比率の２乗）になりますよね。 （元の円の面積）＝半径×半径×3.14 （拡大コピー後の面積）＝半径×拡大率×半径×拡大率×3.14＝半径×半径×3.14×拡大率×拡大率×3.14＝元の円の面積×拡大率×拡大率 円錐や他の図形でも同様ですね。 ちなみに体積は、長さを３回かける（たて×よこ×高さetc）ので 拡大コピーした図形の体積は、（元の図形の体積）×（拡大比率の３乗）になりますよね。
お礼
ご丁寧に本当に有難うございました。 大人はわかるのですが・・、その公式がどうしてできたかを 教えているうちにへ理屈ばかりいうと思っていたのに ハッ？ってなってしまいました。 本当にお騒がせしまして申し訳ありませんでした。 いい勉強になりました。 お礼まで。
補足
お返事ありがとうございました。 慌てて締め切ってしまいましたのにお答えいただき 心から感謝しています。NO2 さんに補足としてお答えさせていただきましたが その率というのを教えるのがとても難しいです。 面積も体積もその拡大率から私大人としてとても良く分かっています。 子供の語彙の中にまだ無く不思議を教えるのに 苦労しています。だから面積の比は2乗と言うところまで 中々たどりつけませんでした。又よろしくお願いします。
- asuncion
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相似比が1 : 10の図形の面積比が1^2 : 10^2 = 1 : 100 になるってだけでは？
お礼
早々とありがとうございました。 そうなんです。相似を習ってないので 説明に苦戦していますが、それは決まっていると 教えます。申し訳ありませんでした。 有難うございました。お礼まで。
お礼
お返事おそくなりました。ＢＡに選べず申し訳ありませんでした。 よくよく考えると円錐の底面積の円周が円錐部分の 表面積を求める時に必要ですが 底面積の円周が扇形の円周になるわけがないです。 それを根気よく説明しました。 ですから相似の小円と大円の面積の２乗になることは お教えいただいた通り教えるつもりでいます。 お世話になりました。本当に有難うございました。 お礼まで。
補足
いつもお世話になっています。慌てて締め切ってしまい ご迷惑おかけしています。 そうなんですよね、そう思ってはいますし、実際計算しても そうなるのですが、円錐の扇形の部分の面積を出す時に 中心角を求めるのに 母線分の底面の半径と必要であるのでそれでは その比と面積の比が同じになるのではと質問されて 戸惑ってしまいました。確かに中心角は扇形の中心角が 円の場合３６０度になるだけと考えたみたいで それならばもう底面の半径と母線（つまり半径）の比と面積の 比はおなじではないの？って聞かれました。 それをどう小学生に説明すればいいのかと考えてしまいました。 私も初めは10倍の10倍だからといいましたが 他の数字でも納得はできているのですが、どうしても 円錐の表面積から考えて言われるとそう考えるのかと 迷ってしまいました。相似はもう充分私も理解しているのですが。 もう一度考えてみます。よろしくお願いします。