切り取られた円錐形の表面積

質問

底面　半径　600
高さ　　　　　300の円錐形です。
底面の中心から水平方向に150離れた線で、高さ方向に垂直に切り取ります。
切り取られた立体の側表面積を教えてください。
できるだけ簡潔に、数式をつけていただきたいと思います。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

A#1の補足の質問の回答

>a=150とおくと

切り取り位置をaとおいて

>円錐の底面半径=4a,円錐の高さ=2a

円錐の底面半径=b,円錐の高さ=h
とおくと

>切り取られた立体の側表面積:
これは、A#1のSの計算を同じように行うと

S={(bπ/2) - (a/b)√(b^2-a^2) - b*sin^-1(a/b)} √(h^2+b^2)　…(☆)
ただし、0≦a<b, h>0。

となります。
後は、a,b,hにどんな半端な値でも(☆)の式に代入して関数電卓（Windows内蔵電卓やGoogleや市販の関数電卓）やEXCELを使って計算すればいいでしょう。

お礼

info22様ありがとうございました。
自分で納得できても、客先に説明するには
あまり複雑になっても理解を得られないものですから
大変助かりました。

回答No.1

info22_

a=150とおくと
円錐の底面半径=4a,円錐の高さ=2a
円錐面の方程式：z=f(x,y)=2a-(√(x^2+y^2))/2
切り取られた立体の側表面積:
S=∫∫[D]√(1+fx^2+fy^2) dxdy, D:{(x,y)|x^2+y^2<=16a^2,a<=x<=4a}

fx=(x/2)/√(x^2+y^2),fy=(y/2)/√(x^2+y^2),√(1+fx^2+fy^2)=√5/2　なので

S=∫[a,4a] dx 2∫[0,√(16a^2-x^2)] √5/2 dy
=∫[a,4a] √5√(16a^2-x^2) dx
={8√5π-5√3-16√5sin^-1(1/4)}(a^2)/2
≒19.24905 a^2
≒433103.627

お礼

御礼が遅れて申し訳ございません。
ご回答ありがとうございます。
回答についてですが、修正をお願いしたいのですが。
この質問について、ある構造物の面積を出そうとしています。
ですので、数値は質問に記載してあるものより複雑なものです。
質問は、回答者がわかりやすいように、また回答していただいたものに
自分自身で、本当の数値を入れ計算できるように、近似値での数値を
記載いたしました。
　ですので、最初にa=150とおいてしまうと、さほど数学に強くない
自分として見れば、少々わかりづらいのですが。
上記のことを前提に再回答は可能でしょうか。
よろしくお願いいたします。