（線形）連立不等式または有効な区間

質問

合成積のフーリエ変換の例題の中に出てきた、連立不等式（？）について質問です。質問自体は中学・高校レベルかもです。ただ、X<=Aの形なら代入とかできますけど、A<=X<=Bの形だとどうしていいのか分かりません・・・。まずは原文を引用します：

関数
f(t)=
{ 1 (0 <= t <= 2)
{ 0 (t<0 or 2<t)
と関数
g(t)=
{ 1 (-2 <= t <= 0)
{ 0 (t<-2 or 0<t)
の合成積が
h(t)=
{ t+2 (-2 <= t <= 0)
{ -t+2 (0 <= t <= 2)
{ 0 (t<-2 or 2<t)
であることを示し、
F[(f*g)(t)] = F[f(t)]F[g(t)] (式6.29)
を使ってh(t)のフーリエ変換を求めよ。

[解] g(t-s)は、
-2 < = t-s <= 0
を満たす区間、すなわち
全体からtを引く
-t-2 <= -s <= -t
全体に-1を掛ける（不等号が反転する）
t+2 >= s >= t
昇順に並べ替える
t <= s <= t+2
の区間でのみ1であり、それ以外のところでは0である。

またf(s)は、
0 <= s <= 2
の区間でのみ1であり、それ以外のところでは0である。

したがって、
(f*g)(t) = ∫[-∞,∞] f(s)g(t-s) ds (式6.28)
において、
t<-2あるいは2<t
ならば、f(s)とg(t-s)の両方が1になるsの区間が存在しないので、
(f*g)(t) = 0
になる。

↓質問箇所
また、
0 <= t <= 2
ならばf(s)g(t-s)の値は
t <= s <= 2
の区間でのみ1であり、他のところでは0であるから、
(f*g)(t) = 2-t (= -t+2)
となる。

同様に
-2 <= t <= 0
ならば、
0 <= s <= t+2
となる。

ゆえに、
h(t) = (f*g)(t)
が示せた。
（続き略）

・・・以上、引用終わり。

「0 <= t <= 2
ならばf(s)g(t-s)の値は
t <= s <= 2
の区間でのみ1であり、他のところでは0であるから、
(f*g)(t) = 2-t (= -t+2)
となる」
の部分が理解できていません。

まず、
t <= s <= 2
という式がパッと出てきたのが分かりません。
こういうのは計算式で出せるのでしょうか？
数直線を引いて理解するものなのでしょうか？

それと、2-tは
t <= s <= 2
の全体からtを引いて
t-t <= s-t <= 2-t
0 <= s-t <= 2-t
から来たのかなぁと推測しますが、真ん中がs-tなのが理解できません。
どうか分かりやすく説明をお願いします。

↓蛇足ですが
因みに、前半の「したがって、・・・f(s)とg(t-s)の両方が1になるsの区間が存在しないので、(f*g)(t) = 0になる」の部分は多分理解できています。f(s)は0 <= s <= 2の区間でせっかく1なのに、g(t-s)はt<-2あるいは2<tの区間で0になってしまいます（こんな計算でいいのか分かりませんが…）。

例えば、
t=-2.1
だと
g(t - min(s))
=g(-2.1 - 0)
=g(-2.1)
で
-2 < = t-s <= 0
の下限よりも下なので0です。

逆に、
t=2.1
だと
g(t - max(s))
=g(2.1 - 2)
=g(0.1)
で-2 < = t-s <= 0
の上限よりも上なので0です。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

まず
g(t-s)はt <= s <= t+2の区間でのみ1
f(s)は0 <= s <= 2の区間でのみ1
ということがわかったわけですね。
これらの区間の重なり具合で場合分けをすると
(A) t<t+2 < 0<2
(B) t< 0≦t+2 <2
(C) 0≦ t≦2 <t+2
(D) 0<2 < t<t+2
の4通りがあります。このうち(A)と(D)，つまりt<-2あるいは2<tの場合は
(f*g)(t) = 0になる
とすぐにわかります。
(C)のとき，つまり0≦t≦2の場合は，区間が重なっているところは，t≦s≦2のところだとすぐにわかります。
(B)のとき，つまり-2≦t<0の場合は，区間が重なっているところは0≦s≦t+2のところだとすぐにわかります。

> 数直線を引いて理解するものなのでしょうか？

どんな理解のしかたでもいいですよ。自分のわかりやすい方法を使ってください。

> それと、2-tは......真ん中がs-tなのが理解できません。

真ん中って何を面倒なことを考えているの？重なった区間がt≦s≦2なのだから，その区間の最大から最小を引いているだけですよ。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。(A)(B)(C)(D)を数直線に書いて理解できました。私が求めていた回答でした。今回はsもtも幅が2なのでよかったですが、幅がまちまちだったらもっとややこしかったんでしょうね。ありがとうございました！

回答No.2

info33

(f(t)=
{ 1 (0 <= t <= 2)
{ 0 (t<0 or 2<t)

g(t)=
{ 1 (-2 <= t <= 0)
{ 0 (t<-2 or 0<t)

h(t)=(f*g)(t)=∫[-∞,∞] f(s)g(t-s) ds

f(s)g(t-s)=1
0<=s<=2 and -2<=t-s<=0
⇒ 0<=s<=2 and t<=s<=t+2

0<t+2<=2 (-2<t<=0) のとき 0<=s<=t+2 で f(s)g(t-s)=1 より
h(t)=∫[0, t+2] 1 ds=t+2
0<=t<=2 のとき t<=s<=2 で f(s)g(t-s)=1 より
h(t)=∫[t, 2] 1 ds=2-t
t<-2, 2<t のとき 0<=s<=2 で f(s)g(t-s)=0 より
h(t)=∫[0, 2] 0 ds=0

>F[(f*g)(t)] = F[f(t)]F[g(t)] (式6.29)
を使ってh(t)のフーリエ変換H(w)を求めよ。

w=2πf, F[f(t)}=F(w), F[g(t)]=G(w) , F[h(t)]=H(w)として

F(w)=∫[-∞,∞] f(t)exp(-jwt)dt=∫[0,2] exp(-jwt)dt
=[exp(-jwt)/(-jw)][0,2]={1-exp(-jw2)}/(jw)
G(w)=∫[-∞,∞] g(t)exp(-jwt)dt=∫[-2,0] exp(-jwt)dt
=[exp(-jwt)/(-jw)][-2,0]={-1+exp(jw2)}/(jw)

H(w)=F[h(t)}=F[(f*g)(t)] = F[f(t)]F[g(t)]
=F(w)G(w)
={1-exp(-jw2)}/(jw) * {-1+exp(jw2)}/(jw)
={2-exp(jw2)-exp(-jw2)}/(w^2)
={2-2cos(2w)}/(w^2)
=2(1-cos(2w))/w^2
=4 ((sin w)/ w)^2

お礼

ありがとうございます。なるほど、t+2や2-tは実際に積分した値だったんですね。後半の部分も書いて下さって助かりました。ただ、例題に対する回答としては正しいのですが、私の質問は主に不等式に関する部分だったので、ベストアンサーはNo.1の方に差し上げます。でも、またお願いします。ありがとうございました！