イロイロ

質問

AB = 2*AC且つBC = 30 (cm) の三角形の面積の最大値を求めよ.
三角形の面積ほど容易な問題は存在しない。
そこで　多重人格者になり　上の問を　多様な発想で解いて下さい；
発想
(イ)
(ロ)
(ハ)
(二)
(ホ)
https://www.youtube.com/watch?v=F2JaJF02o0M

回答No.5

staratras

No.4で最後の方の絶対値記号が抜けていました。失礼しました。

誤：ここで三角形ABCの面積をSとすれば、S=（1/2)・30・Imα=15Imαであるから、Sの最大値はImα=20のときで、S=300（cm2）

正：ここで三角形ABCの面積をSとすれば、S=（1/2)・30・|Imα|=15|Imα|であるから、Sの最大値は|Imα|=20のときで、S=300（cm2）

回答No.4

staratras

No.2&3です。回答を追加します。(ホ）「複素数大好き」の回答
以下複素数αの共役複素数をα’、αの虚部をImαと表記する。

下の図のように複素平面上に三角形ABCをつくり、A(α),B(0),C(30)とする。
AB=2AC だから、|α|=2|α-30|より|α|^2=4|α-30|^2
αα’=4(α-30）(α'-30) これを展開して整理すれば
αα'-40α-40α'+1200=0
(α-40)(α'-40)=400 よって|α-40|=20
これはAを表わす複素数αが実軸上の点D(40)を中心とする半径20の円周上にあることを示す。

ここで三角形ABCの面積をSとすれば、S=（1/2)・30・Imα=15Imαであるから、
Sの最大値はImα=20のときで、S=300（cm2）

回答No.3

staratras

No.2です。回答を追加します。(ニ）「三角関数大好き」の解法

下の図のようにAB=2ｘ、AC=ｘ、角A=θとおくと、余弦定理から
30^2=x^2+(2x)^2-2・2x・xcosθ
5x^2-4x^2cosθ=900　より　x^2=900/(5-4cosθ)
三角形ABCの面積S=1/2(2x)(x)sinθ=x^2sinθ=900sinθ/(5-4cosθ)

f(θ)=900sinθ/(5-4cosθ)とおくと
f'(θ)=900(5cosθ-4)/(5-4cosθ)^2
この式の分母は常に正だから、f(θ)はf'(θ)=0を満たすθの値、
すなわちcosθ=4/5　sinθ=3/5　のとき以下の最大値を取る。
f(θ)=（900*3/5）/（5-4＊4/5）=300

よって三角形ABCの面積の最大値は300(cm2)

回答No.2

staratras

(イ）直感で解くなら初等幾何（アポロニウスの円：ほとんど計算不要）
(ロ）愚直に解くなら座標幾何（２次関数の最大値に帰着）
(ハ）定番で解くならヘロンの公式（相加・相乗平均の関係が使える）

(イ）点Aは２定点BとCとの距離の比が常にAB:AC＝2:1と一定なので、円周上（アポロニウスの円）にある。下の図で、PはBCを2:1に内分する点、QはBCを2:1に外分する点なので、PC=10,QC=30だからOを中心とするこの円の直径は40である。三角形ABCで定長(30)の辺BCに対する高さが最も大きくなるのは、BCとAOが垂直のときで半径の20であるから、
　　三角形ABCの面積の最大値は30×20÷2=300（cm2）である。

(ロ）下の図のように座標を定め、三角形の頂点A(x,y)とする。
　　図の対称性からy>0のみ考える。
　　AB^2=(x+15)^2+y^2、BC^2=(x-15)^2+y^2 であり
　　AB=2BC　よりAB^2=4BC^2 に代入して整理すれば
　　y^2=-(x-25)^2+400 したがってx=25のときy^2=400の最大値を取る　
　　y>0からy＝20
　　よって三角形ABCの面積の最大値は300（cm2）である。

(ハ）AC=x AB=2x　とするとヘロンの公式から三角形ABCの面積Sは
　　　S=(3/4)√{(x^2-100)(900-x^2)}
ここで三角形の成立する条件から10<x<30　だから
　　(x^2-100)>0　かつ(900-x^2)>0 　相加相乗平均の関係から
　　｛(x^2-100)+(900-x^2)｝/2≧√{(x^2-100)(900-x^2)}
　　　　　　　400≧√{(x^2-100)(900-x^2)}
　したがってS=(3/4)√{(x^2-100)(900-x^2)｝≦300　
三角形ABCの面積の最大値は300（cm2）である。

回答No.1

nakanojjj

そこで　多重人格者になり　上の問を　多様な発想で解いて下さい」←まずは　牛乳と卵を混ぜ合わせ　泡だて器で撹拌する・・

次に砂糖とバニラエッセンスを加え　軽く混ぜ　カップに移し冷蔵庫で冷やす・・

プリンの出来上がり・・