円の問題

質問

円の図があります。
円周を八等分にする点をイ、ロ、ハ、ニ、ホ、ヘ、ト、チとする。
円の中心を点Ｏ、半径はｒです。
トロの長さはいくらか？
という問題です。
答えはｒ/√２みたいです。

これはどうやって求めればよいのでしょうか？
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんにちは。
これは、絵を描いてみればいいと思います。

まず、原点中心、半径rの円周を描きます。
それで、円周を８等分する点を、時計周りに
イ、ロ、ハ、ニ、ホ、ヘ、トとします。
オロ＝トロ＝r

半径rで原点中心の円なので、ト、ロの座標はそれぞれ
ト(-r,0)
ロ(r/√2,r/√2)となります。

ロからｘ軸におろした垂線の足を、アとします。
アの座標は
ア(r/√2,0)ですね。

ここで、三角形トロアにおいて、ピタゴラスの定理を使えば、トロの距離が出そうです。

ロア＝r/√2
トア＝(r+r/√2)=r(√2+1)/√2=r(2+√2)/2

なので、トロ＾２＝トア＾２＋ロア＾２より
トロ＾２＝{r(2+√2)/2}^2+(r/√2)^2
=r^2/4{(2+√2)^2+2}
=r^2/4{8+4√2}
=r^2(2+√2)

となるので、r>0より
トロ＝r√(2+√2))

となりそうですよ？？
答えはあってますでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます！
ごめんなさい～この問題は解答がなかったです・・。
ちがう問題の答えでした。
申し訳ないです。

わかりやすく解説していただいてありがとうございました。
参考にさせていただきます。

回答No.3

mirage70

No2あっていますよ。
検証は、余弦定理を使えます。
cos135°は求めることが出来ます。

お礼

どうもありがとうございました。
参考にさせていただきます(＾＾)

回答No.1

pancho

色々と方法は考えられますが、補助線として点「ハ」と点「ト」を結ぶ線分を引くと、これが円の直径となっていることは、解りますね。

点「ロ」からこの線分に垂線を下ろした点をｐとすれば、角「ロｏｐ」＝４５度なので、線分「ｏｐ」の長さと線分「ｏロ」の長さが求まります。
後は、三角形「トロｐ」が直角三角形であることから、線分トロの長さが求まります。

かたかなを使って点を表すと解りづらいですね。

以上。

お礼

たくさん補助線をひかなくてはいけなくて難しいですね(＾＾；

ありがとうございました。