発想 イロイロ

質問

ラグランジュの未定乗数法（method of Lagrange multiplier）
束縛条件のもとで最適化を行うための数学（解析学）的な方法

を　用いて　↓の　山麓鉄道の　軌道 の

最も高い位置を見出せ　なる　大學講座　に　邂逅しました;

問題　2　山間部の鉄道

山の形が 6*E^(-3*(x^2 + 4*y^2)) であるとする。
山麓鉄道の軌跡のｘｙ面への射影を y=2-x とする。
軌道の最も高い位置を見出せ。

　　　　　　解いて後　↓の　解答を　観て下さい;
http://sugp.cs.shinshu-u.ac.jp/Material/Science/ChemMath1-2/e-Math4.htm

https://www.youtube.com/watch?v=0SZxrwA8pbw

　　　　　　山麓鉄道を　新しく　起伏に富んだ　ものに　構築し
山麓鉄道の軌跡のｘｙ面への射影を　y = 1/7 - 3*x^2 - x^4　と　改竄したとき
軌道の最も高い位置を見出して下さい;

発想　イ　method of Lagrange multiplier　で　;

他の　発想　ロ　で;

回答No.1

jcpmutura

(1)
f(x,y)=6e^{-3(x^2+4y^2)}
y=2-x
g(x,y)=x+y-2=0
λを未定乗数
F(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)
とすると
F_x=-6xe^{-3(x^2+4y^2)}-λ=0
F_y=-24ye^{-3(x^2+4y^2)}-λ=0
F_λ=-x-y+2=0
だから
-6xe^[-3{x^2+4y^2}]=λ=-24(2-x)e^[-3{x^2+4y^2}]
-6x=-24(2-x)
-6x=-48+24x
48=30x
24=15x
8=5x
x=8/5
y=2-x=2-8/5=2/5

x=8/5
y=2/5
の時最大値f(8/5,2/5)=
6e^{-48/5}≒0.000406372

(2)
f(x,y)=6e^{-3(x^2+4y^2)}
y=(1/7)-3x^2-x^4
g(x,y)=x^4+3x^2+y-1/7=0
λを未定乗数
F(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)
とすると
F_x=-6xe^{-3(x^2+4y^2)}-λ(4x^3+6x)=0
F_y=-24ye^{-3(x^2+4y^2)}-λ=0
F_λ=-x^4-3x^2-y+1/7=0
だから
-6xe^{-3(x^2+4y^2)}=λ(4x^3+6x)=-24y(4x^3+6x)e^{-3(x^2+4y^2)}
x=4(1/7-3x^2-x^4)(4x^3+6x)
16x^7+72x^5+(488/7)x^3-(17/7)x=0

16x^6+72x^4+(488/7)x^2-(17/7)=0
となる
h(x)=16x^6+72x^4+(488/7)x^2-(17/7)
とすると

h(x)=0
となる
x
に対して
f(x,y)は最大となる
というここまでが
Lagrangeの未定乗数法なのだけれども,
このx^2の3次方程式の解を求めるのは
Lagrangeの未定乗数法とは別の問題です。

f(x,y)=6e^{-3(x^2+4y^2)}
に
y=(1/7)-3x^2-x^4
を代入すると
f(x,y)
=6e^{-3(x^2+4y^2)}
=6e^[-3{x^2+4(1/7-3x^2-x^4)^2}]
=6e^[-3{x^2+4(1/49-6x^2/7+61x^4/7+6x^6+x^8)}]
=6e^{-3(4x^8+24x^6+244x^4/7-17x^2/7+4/49)}

X=x^2
G(X)=-3(4X^4+24X^3+244X^2/7-17X/7+4/49)
として微分すると
G'(X)=-3(16X^3+72X^2+488X/7-17/7)
微分すると
G"(X)=-3(48X^2+144X+488/7)
X=x^2≧0だからG"(X)<0だからG'(X)は減少で
G'(0)=51/7>0
G'(1)=-3(88+471/7)<0
だから
0<β<1,G'(β)=0,となるβが唯一存在する
X<βの時G'(X)>0だからG(X)は増加
X>βの時G'(X)<0だからG(X)は減少だから
X=βの時G(X)は最大となるから
f(x,y)=6e^{G(x^2)}も最大となる
G'(x^2)=-3(16x^6+72x^4+488x^2/7-17/7)=-3h(x)=0
だから
h(x)=0
となる
x
に対して
f(x,y)は最大となる

X=x^2
H(X)=16X^3+72X^2+(488/7)X-(17/7)
とすると
3次方程式
H(X)=16X^3+72X^2+(488/7)X-(17/7)=0
の解は
x^2=X≒0.033657356
だから
x≒0.183459413
となるこの時
最大値は
f(x,y)
=6e^{-3(x^2+4y^2)}
=6e^[-3{x^2+4(1/7-3x^2-x^4)^2}]
=6e^[-3{X+4(1/7-3X-X^2)^2}]
≒5.316729951