数学A 場合の数

質問

子供に聞かれましたが、うまく回答できません。よろしくご指導願います。
問題：長方形ABCDの辺BC上にＰ、CD上にＱを取り、内部の任意の点Ｏと各Ａ，Ｂ．Ｐ，Ｃ，Ｑ，Ｄを放射状に結んで６つの領域（３角形）に分ける。これらの３角形を赤、青、黄の３色のすべてを使って塗る場合の数を求めよ。ただし線分で隣り合う３角形は異なる色でなければならない。答えは６０通りになっています。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

丁寧に数えるのが最もわかりやすい解法だと思いますが、多少工夫して場合分けをすると重複や数え落としが防げます。以下下の図（左上）のように６つの領域を長方形の辺ABを含む領域から頂点C、Dに向かう方向にa,b,c,d,e,fとします。

まず、一つの色を使える領域は最大で３か所です。また最低でも１か所には使わないといけないので、３色の配分(何か所に使うか）は場合１（３か所＋２か所＋１か所）か、場合２（２か所＋２か所＋２か所）のいずれかです。

１の場合（下の図右上）
３か所は一つおきにとるほかないので、(a,c,e)か（b,d,f)のいずれか２通りです。このそれぞれの場合について残りの３か所(これも一つおき）のいずれかの１色だけ１か所に使う色を決めると、残りの２か所に使える色と場所が自動的に決まります。同色の３か所に使う色の決め方は３通り、１か所を選ぶ決め方は３通り、１か所に使う色の決め方は２通りなので、aが青や黄の場合も考えると３×２×３×２=３６通り　あります。

２の場合
仮にaに赤を使った場合、もう１か所赤を使えるのは隣り合わないc,d,eのいずれかです。

このうちdに使った場合（下の図左下）には、残りの(b,c)と(e,f)のそれぞれに2通りずつの選び方があるのでaが青や黄の場合も考えると、３×２×２＝１２通り　です。

またcまたはeに使った場合（下の図右下）には赤にはさまれた１つだけの領域(bまたはf）に使った色（図ではbに使った黄色）は、赤にはさまれた３つ連続した領域の真ん中(eまたはc：図ではe)にしか使えません。（そうしないと同じ色が隣り合います）これは赤以外の2通りの色が選べるので、aが青や黄の場合も考えると３×２×２＝１２通り　です。

１．２をすべて足し合わせると、３６＋１２＋１２＝６０通りです。

お礼

どうもありがとうございます。私もご教示の考え方で解くのではないかと思っていましたので、霧が晴れたようにすんなり理解できました。

回答No.4

staratras

No.3の回答と本質的には変わりませんが、6つの領域を6角形の6つの頂点に対応させ、頂点を3色で塗り分けると考えると、視覚的にはわかり易くなるかもしれません。

隣り合う領域は違う色でなければならないという題意は、隣り合う頂点は同色であってはならないということになります。配色のパターンが、場合1（3か所+2か所+1か所）、あるいは場合２（2か所+2か所+2か所）の2通りであることは同じです。

１の場合（下の図の上段中央）、1か所しか使わない色の頂点aを決めると、3か所使う色の頂点b,d,f、2か所使う色の頂点c,eの位置は自動的に1通りだけ決まります。1か所しか使わない色の頂点は6頂点から、つまり6通り選べます。この6通りのそれぞれについて、赤・青・黄の3通りあり、残りの3か所と2か所に使う色は残りの2色のどちらかを使いますので、全部で６×３×２＝３６通りです。

２の場合は3本の対角線で6頂点すべてを結ぶことに対応します。ここでaとc、あるいはaとeを結んだ場合には、bとeもしくはcとfを結ばざるを得ないのでそれぞれ1通りしかありません。（下の図の上段右と下段左）

aとdを結んだ場合には、残りの4頂点を対角線で結ぶやり方は２通り可能です。（下の図の下段中央と右）

まとめますと２の場合、色分けを別にすれば結ぶパターンは下の図の4通りしかありません。この4パターンのそれぞれについて3色による色分けの方法は３×２＝６通りずつありますので、全部では４×６＝２４通りです。

１と２の場合を合わせると、３６＋２４＝６０通りです。

お礼

ご回答ありがとうございます。いろいろな解き方（考え方）がありとても参考になりました。とりあえず子供にはNO.３の考え方で説明しました。

回答No.2

MSZ006

地道に数えるしかなさそうです。
領域は６個なので、それぞれの領域の名前を１～６とします。

領域１から順番に色を決めていくとして、領域２は領域1以外の２色。領域３は領域２以外の２色、、、、というふうに考えていくと、
領域１が赤（ｒ）の時の塗り方は図のようになります。2の5乗＝32とおりになります。
ここで、
領域６が領域１と同じ色（ｒ）はNG（１０とおり）。３色必ず使わないといけないので、２色しか使っていない２パターンもNG。残りの20とおりがOKとなります。

領域１が青の時や黄の時も同様なのでそれぞれ20とおりがOKです。
そうすると全部で60とおりとなります。

お礼

回答いただきどうもありがとうございます。大いに参考にさせていただきます。

回答No.1

f272

数えるのが一番早い。
赤青赤黄青黄
赤黄赤青黄青
赤青黄赤青黄
赤青黄赤黄青
赤黄青赤青黄
赤黄青赤黄青
赤青黄青赤黄
赤青赤青赤黄
赤青赤黄赤青
赤黄赤青赤青
これで10とおりです。それぞれに対して色を交換した場合があり，ぞれぞれに対して3!=6通りのパターンがあります。従って全部で60とおりです。

お礼

どうもありがとうございます。子供が樹形図を描いて解こうとしていたので、
ちょっと格好をつけて別の方法はないかと考えていました。でも一番分かりやすい方法ですね。