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ネーターの定理の直観的なイメージ
ddtddtddtの回答
- ddtddtddt
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#2さんの回答が、たぶん妥当だと思いますよ。 ネーターの定理を理解するためには、もうちょと具体的に考えた方が良い、というのが自分の意見です。ネーターの定理はもともと、古典力学の中で提唱されました。 古典力学において力は、位置のみによって決まる保存力Fです。いま簡単のため2質点：m1とm2を考え、それぞれの位置ベクトルをr1，r2とします。古典力学ではm1とm2の運動方程式は、以下です。 m1×dr1/dt^2＝ F(r2－r1) (1) m2×dr2/dt^2＝－F(r2－r1) (2) (1)＋(2)をとれば、 m1×dr1/dt^2＋m2×dr2/dt^2＝0 (3) となります。何故右辺がちょうど0になるかと言うと、それが「作用・反作用の法則」です。で、左辺を次のように変形します。 (m1＋m2)(m1/(m1＋m2)×dr1/dt^2＋m2/(m1＋m2)×dr2/dt^2＝0 (4) (4)左辺の掛け算の長い()の2項目の方はちょうど、重心加速度の定義式になります。こうして(4)より、系に外部から力が働かない限り「系の重心は、静止するか、一定速度で動く」という運動量保存則が得られます。 以上の過程を見直してみましょう。先の導出過程には、一つの不変性があります。それは力F(r2－r1)が、質点m1とm2の相対位置(r2－r1)で決定される点です。 F(r2－r1)が質点m1とm2の相対位置だけで決まるなら、r2とr1を任意に並進させても(r2－r1)は変わりません。当然ですよね？。座標原点をaだけずらしても、 (r2＋a)－(r1＋a)＝r2－r1＋a－a＝r2－r1 だからです。そしてそれは観測事実と一致します。 座標原点の取り方は人間の勝手であり、それによって物理効果が変化する訳ないからです。言い換えると座標原点の取り方によって、物理系は変化しないという事であり、見分けは不可能という事です。 古典力学における力が、質点の相対位置の関数であるという事は、その観測時事の反映であると考える事が出来ます。ネーターさんは逆を考えたんです。 座標原点を任意にaだけずらした時、それでも物理系が変化しない力Ｆのありかたとは？・・・と。すんげぇ～頭良いと思う(^^;)。 結果だけ述べると、力Fが質点の位置だけによって決まる保存力である限り、「力Fは質点の相対位置だけよって決まらなければならない」という事を、数学的に示せます。 量子力学に移行しましょう。 量子力学に移行すると、もはや力という概念はあやふやになり、ほとんど使えない状態になりますが、とにかく質点m1とm2は相互作用するんですから、作用は並進普遍性を持つという言い方になります。逆に系に並進普遍性があれば、それは作用の並進普遍性に由来するはずなので、「保存則があるに違いない」という話になります。 だってそういう系しか見た事ないからですよ。よって量子力学でも運動量保存則は成立します。 以上の流れを徹底的に一般化したのが、ゲージ理論です。古典力学のところで言ったように、物理系の各種の不変性から、作用の関数形をかなりの確かさで決め得るとわかったからです。 本当にプロは、可能性があるとなると何だってやりますね(^^;)。
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