ネーターの定理ってなんですか２

質問

ネーターの定理ってなんですか？
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=304503

で、siegmund さんはじめ、皆さんが書いた解答が
とても勉強になったのですが、
ちょっと根本的に分からないことがあります。

例えば、siegmund さんの図の例だと
エネルギー Ｅ＝1/2 m v[t]^2 + m g (- x[t]) は
保存されますよね。

ここで、
ラグランジアン Ｌ＝1/2 m v[t]^2 - m g (-x[t])
だと思うのですが、

oshiete_goo さんの

| 時間方向の並進運動に関する時空の不変性（時間方向の並進対称性）
| <--> エネルギー保存則

siegmund さんの

| 不変かどうかを調べるべき量は，
| oshiete_goo さんも書かれているとおりラグランジアンなのですが，

から考えたのですが、
時刻が t から t' に変化すると、
Ｌ は不変ではないように見えます。

私は何を勘違いしているのでしょうか・・・？

すみませんがよろしくおねがいします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

physicist_naka さんのおっしゃるとおりです．
多少，補足させていただきます．

> ラグランジアンは、一般化された座標、
> その時間微分、時間という変数（これらは全部独立変数）で書かれますね。
のあたりが微妙なところです．

ここでの話は，ラグランジアンを
(1)　　L(x,v,t)　　　v=dx/dt
と３変数の関数と見たとき，t の変化に対してラグランジアンが
不変かどうかということです．
x，v は運動方程式をといた後では t の関数ですが，x や v を通じて
入ってくる t 依存性はここの話では考えません．
微分記号で言えば，dL/dt を問題にするのではなく，∂L/∂t を問題にするのです．
別の言い方が，時間を陽に含むかどうか，です．

今の例の
(2)　　Ｌ＝(1/2) m v^2 - m g (-x)
には t は陽に含まれていませんから，t をずらしても L は当然不変です．
実は，エネルギーの時間変化は
(3)　　dE/dt = -∂L/∂t
であることを示すことができ，これから，
∂L/∂t=0 なら(t は陽に含まれていなければ)， E が保存されることになります．

E が保存されない典型例は摩擦のある系で，今の自由落下に速度に比例する摩擦項
を加えると，ラグランジアンは
(4)　　L = exp(γt/m){(1/2) m v^2 - m g (-x)}
になります．
これからオイラー・ラグランジュ方程式を作ると，速度に比例した摩擦力が働く
運動方程式が得られます．
(4)ですと，陽な t 依存性が L にありますので，エネルギーは保存しません．
これは，摩擦でエネルギーが失われるということに対応しています．

お礼

physicist_naka さん、siegmund さんありがとうございます。

いままで、奥歯に何かかんでいるような状態だったのですが、
おかげさまですっきりしました。
わたしは根本的に勘違いしていましたね。
オイラー・ラグランジュ方程式にもすこし親しみがでたような気がします。
ありがとうございました！

新たな疑問が出たのですが、別スレッドにします。

回答No.1

physicist_naka

このあたり、まったく自信がありませんが、まだ回答されていませんので、こうではなかろうかということで回答させていただきます。
ラグランジアンは、一般化された座標、その時間微分、時間という変数（これらは全部独立変数）で書かれますね。ご質問の、
Ｌ＝1/2 m v[t]^2 - m g (-x[t])
という書き方は誤解を招くので、
Ｌ＝1/2 m v^2 - m g (-x)、（ｖはｘの時間微分）
と書かないといけないと思います。このLは、時間を陽に含んでいませんので、（つまり、ｖ、ｘを止めてｔを動かしても不変なので）時間方向の並進対称性はあるということになるとおもいます。