保存系とハミルトン系

質問

【１】
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(1) 保存系（x' = f(x) で Div(f)がゼロ。
相体積が減らない。まさつがない）

ではあるが、

(2) ハミルトン系（q' = ∂H/∂p, p' = - ∂H/∂q）

ではない
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といった例はあるのでしょうか？

(2)→(1) はすぐ分かるし、(1)(2)は似ているような気がします。
けど、(2)は(1)よりずいぶん条件がきついように見えます。

もし、そういった例があるとすると、
次のことが気にかかります。

【２】
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=316948
で、ラグランジアン L が t を陽に含まないときは、
時間対称性があって、t の移動に関する保存量がある
と教えていただきました。

保存系も摩擦がないので、時刻 t を含まないと思います。
すると、「ハミルトン系に時間対称性がある」、というだけでなく
保存系も時間対称性がある、といっていいのでしょうか。

ハミルトン系には時間対称性があって、
ということばは聞くのですが。
（対称性、の使っている意味が違うのでしょうか）

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

カオスとかそういう方面でよく使われる用語で，
私の専門からは大分遠いです．

通常，保存系というのはエネルギーが保存される系を指しているようです．
エネルギーが保存されないのは散逸系ですね．
保存系のことをハミルトン系とも言うようです．
ただし，
(1)　　q' = ∂H/∂p, p' = - ∂H/∂q
だけではちょっと具合が悪い．
例えば，
前の http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=316948 で出てきました
(2)　　L = exp(γt/m){(1/2) m v^2 - m g (-x)}
から，通常の手続きでハミルトニアンを作りますと，
時間に陽に依存したハミルトニアンが得られます．
(3)　　dE/dt = dH/dt = ∂H/∂t
であることが知られていますから，
エネルギー保存のためには H の陽な t 依存性がないことが必要十分ですね．

補足

お二人ともありがとうございます。

http://cnls.lanl.gov/~nbt/Book/node111.html#SECTION00543000000000000000
http://cnls.lanl.gov/~nbt/Book/node112.html
など読んでいて、これを見ると
ハミルトン系⊆保存系 のように読めるのですが
(q' = ∂H/∂p, p' = - ∂H/∂q なら div はゼロだけど
逆は分からないから。例えば x' = y, y' = x が保存系であって
ハミルトン系でない例のような気がします）
一方で、日本のWEBサイトではハミルトン系＝保存系
と言い切っているところも結構あるし、
ちょっと自分でも混乱してきました。

もう少し考え続けてみて、明日にでももういちどきちんと書ければと思います。
guiterさんの指摘も大事そうだと思います。
ただ、解析力学の本をみてチャレンジしてみたのですが
特に母関数のところなど分かったような分からないようなで
"要するに何だ" という根本的なところがつかめていない感じです。
（ネーターの定理のイメージはおかげさまで大分つかめるようになった
　と思います。たすかります。）

回答No.2

guiter

すでに、siegmund さんの適切な回答があるのでただのアドバイスです。
（今回の質問よりかは前回の質問に対するアドバイスかもしれませんが）

対称性と保存則あたりの話でしたら、
Hamilton 形式であれば、
　Ｈ(q+δq,p+δp) = Ｈ(q,p)
が成り立つときには δq と δp を生成する母関数が保存するということ、

Lagrange 形式であれば、まさに Noether の定理を導くことになりますが、
作用積分がある変換に対して値を変えないならば、
Euler-Lagrange の式が成り立つときには
Noether current と呼ばれる保存量が存在するといったあたりを
詳しく勉強されたらよいと思います。

お礼

siegmund さん guiter さん、ありがとうございました。
勉強しなおしてまた改めて質問しなおします。