ネーターの定理ってなんですか？

質問

高校物理の範囲でもわかる感じに、あまり深くなくてかまわないので、よろしくお願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

標準的カリキュラムでしたら，ネーターの定理は大学の物理系の２年位の
解析力学でやる内容です．
高校物理の範囲で，というのはなかなか難しいことをご承知ください．

oshiete_goo さんが
> 「ネーターの定理」とは, 対称性と保存則に関する定理で, 簡単に言えば，
> 対称性と保存則が非常に密接に結びついていることを表した定理です．
と書かれているとおりです．
ある量が時間変化しないことを，その量が保存されると言います．
ただし，不変性というのが何の不変性かが問題で，
ラグランジアンと呼ばれる量の不変性を指しているところがやっかいなところです．

例えば，自由粒子(何も力がかかっていない)ですと，
エネルギーも運動量も角運動量も時間変化しません(保存されます)．

今度は自由落下を考えてみましょう

　　┬ｘ＝０　　　　∧　　
　　│　　　　　　　│　
　　│　　　　　　　ε　　
　　│　　　　　　　│　　
　　│　　　　　　　∨　　　┬ ｘ'＝０
　　│　　　　　　　　　　　│
　　│　　●　　　　　　　　│　　●
　　│　　│　　　　　　　　│　　│
　　│　　│ｍｇ　　　　　　│　　│ ｍｇ
　　│　　∨　　　　　　　　│　　∨
　　│　　　　　　　　　　　│　　
　　│　　　　　　　　　　　│　　
　　∨　　　　　　　　　　　∨
　　ｘ　　　　　　　　　　　ｘ'

右図と左図は座標をεずらしただけです．

手を離してから時間が経過するに従って落下速度は増加していきますから
当然運動量も増加し，運動量は保存されません．
運動方程式 F = ma (F：力，a：加速度)で見ると，
(1)　　F=mg (座標によらない)，
(2)　　a = d^2 x/dt^2 = d^2 x'/dt^2 (微分したら，座標の平行移動分は消えてしまう)
ですから，運動方程式はどちらの座標形で書いても同形の
(3)　　d^2 x /dt^2 = g　　(or d^2 x' / dt^2 = g)
です．
oshiete_goo さんの言われるように
> 空間内の並進運動に対する時空の不変性（並進対称性）<--> 運動量保存則
ですが，上の話ですと
○ 並進に対して運動方程式が不変
○ 運動量は保存しない
になっています．
つまり，運動方程式が不変かどうかで判断してはいけないのです．
不変かどうかを調べるべき量は，
oshiete_goo さんも書かれているとおりラグランジアンなのですが，
ここらへんがちょっと難しいところです．

ラグランジアンは，単純な系の場合には
(4)　　(運動エネルギー) - (ポテンシャルエネルギー)
と思ってよいのですが，詳しい説明は高校物理の範囲をはるかに越えます．

お礼

知識を補足しながら,理解に勤めていきたいと思います.大変参考になりました.ありがとうございます.

回答No.2

Mell-Lily

ネーターの定理とは、物理法則の対称性と保存則の関係を論じたものです。古典力学から量子力学に移行するとき、ニュートンの方程式は、シュレーディンガーの方程式（波動関数）に替わりますが、エネルギーは波動の振動数と、運動量は波長と一定の関係（アインシュタイン＝ド・ブロイの関係）をもちます。このことから、物理法則が、時間に対して普遍であるならば、エネルギー保存則が、空間に対して普遍であるならば、運動量の保存則が導かれるのです。

お礼

理論的な部分がわかりました.ありがとうございます.

回答No.1

oshiete_goo

他の方が遠慮されているようなので, 暫定的答えを.
ちゃんとした回答は詳しい方に譲ります.

エミー・ネーターは女性数学者で, 略歴は下記URLなどをごらんあれ.
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmei_n.htm

物理で普通よく言及される「ネーターの定理」とは, 対称性と保存則に関する定理で, 簡単に言えば，対称性と保存則が非常に密接に結びついていることを表した定理です．

定理そのものは, 本来は数学の「不変変分論」における基本的な定理ですが, 物理への応用に絞って書けば，
http://www-jlc.kek.jp/general/DOC/oho95-html/node3.html
などにあるように, 何らかの変換に対してラグランジアンが不変ならば, つまり対称性があれば，その対称性に付随する保存量が存在するし，その逆も言えて，対称性と保存量が１対１に対応するということです．
ただし，これは高校物理を超えた表現で，具体例でいくのが良いでしょう．

次の例が有名です．
「時空の対称性の帰結としてエネルギー・運動量保存則や角運動量保存則が導かれる．」
空間内の並進運動に対する時空の不変性（並進対称性）<--> 運動量保存則
空間内の回転運動に対する時空の不変性（回転対称性）<--> 角運動量保存則
時間方向の並進運動に関する時空の不変性（時間方向の並進対称性）<--> エネルギー保存則

もっと先の話としては，第２のＵＲＬにもあるように，例えば，内部空間の対称性から電荷保存が導かれたり，話は尽きませんが，ここらで．

お礼

やはり少しむずかしいですが,おおまかな筋は分かりました.ありがとうございます.