数学 行列

質問

A=
【0 1 1】
【0 0 1】
【0 0 0】
の行列はべき零行列か、べき等行列かを答えよ。という問題なんですが、答えはべき零行列なんですが、A^kしても0になりません。
kっていうのは2とか3とかですよね？

回答No.5

jcpmutura · ベストアンサー

A=
[0,1,1]
[0,0,1]
[0,0,0]

A^2は0になりません
A^2=
[0,0,1]
[0,0,0]
[0,0,0]
となります
そうならなければA^2の計算が間違っています

A^3=0になります
A^3=0とならなければA^3の計算が間違っています

A^2=A*A=(AとAの積)の各成分は以下のように求めます

0,1,1←Aの1行目に
0,0,0←Aの1列目をかけると
0+0+0=0←A^2の(1行1列)成分

0,1,1←Aの1行目に
1,0,0←Aの2列目をかけると
0+0+0=0←A^2の(1行2列)成分

0,1,1←Aの1行目に
1,1,0←Aの3列目をかけると
0+1+0=1←A^2の(1行3列)成分

0,0,1←Aの2行目に
0,0,0←Aの1列目をかけると
0+0+0=0←A^2の(2行1列)成分

0,0,1←Aの2行目に
1,0,0←Aの2列目をかけると
0+0+0=0←A^2の(2行2列)成分

0,0,1←Aの2行目に
1,1,0←Aの3列目をかけると
0+0+0=0←A^2の(2行3列)成分

0,0,0←Aの3行目に
0,0,0←Aの1列目をかけると
0+0+0=0←A^2の(3行1列)成分

0,0,0←Aの3行目に
1,0,0←Aの2列目をかけると
0+0+0=0←A^2の(3行2列)成分

0,0,0←Aの3行目に
1,1,0←Aの3列目をかけると
0+0+0=0←A^2の(3行3列)成分
だから
A^2=A*A=
[0,0,1]
[0,0,0]
[0,0,0]
となる

A^3=A^2*A=(A^2とAの積)の各成分は以下のように求めます

0,0,1←A^2の1行目に
0,0,0←Aの1列目をかけると
0+0+0=0←A^3の(1行1列)成分

0,0,1←A^2の1行目に
1,0,0←Aの2列目をかけると
0+0+0=0←A^3の(1行2列)成分

0,0,1←A^2の1行目に
1,1,0←Aの3列目をかけると
0+0+0=0←A^3の(1行3列)成分

0,0,0←A^2の2行目に
0,0,0←Aの1列目をかけると
0+0+0=0←A^3の(2行1列)成分

0,0,0←A^2の2行目に
1,0,0←Aの2列目をかけると
0+0+0=0←A^3の(2行2列)成分

0,0,0←A^2の2行目に
1,1,0←Aの3列目をかけると
0+0+0=0←A^3の(2行3列)成分

0,0,0←A^2の3行目に
0,0,0←Aの1列目をかけると
0+0+0=0←A^3の(3行1列)成分

0,0,0←A^2の3行目に
1,0,0←Aの2列目をかけると
0+0+0=0←A^3の(3行2列)成分

0,0,0←A^2の3行目に
1,1,0←Aの3列目をかけると
0+0+0=0←A^3の(3行3列)成分
だから

A^3=(A^2)A=
[0,0,0]
[0,0,0]
[0,0,0]
=0
だから
Aはべき零行列である

お礼

kが2で0にならなくても、kは何でもいいから0になるのを探せばいいのですね！ありがとうございました！

回答No.4

tmppassenger

因みに、次元定理って既に学習していますか？
（wikipediaでは別の名前になってますが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 )
次元定理を学習済みだとすると、今の場合3x3行列だから、Aがもし羃零なら必ずA^3=Oになるはずだから、3乗まで試せばいいはず、というのが分ります。

回答No.3

info222_

>A^kしても0になりません。
k=1,k=2では0になりません。
k≧3では0になります。

k=1の場合
A^1=A=
【0 1 1】
【0 0 1】
【0 0 0】
≠
【0 0 0】
【0 0 0】
【0 0 0】
k=2の場合
A^2=A A=
【0 1 1】【0 1 1】
【0 0 1】【0 0 1】
【0 0 0】【0 0 0】
=
【0 0 1】
【0 0 0】
【0 0 0】
≠
【0 0 0】
【0 0 0】
【0 0 0】
k=3の場合
A^3=A^2 A=
【0 0 1】【0 1 1】
【0 0 0】【0 0 1】
【0 0 0】【0 0 0】
=
【0 0 0】
【0 0 0】
【0 0 0】
k=4の場合
A^4=A^3 A=
【0 0 0】【0 1 1】
【0 0 0】【0 0 1】
【0 0 0】【0 0 0】
=
【0 0 0】
【0 0 0】
【0 0 0】
k≧5の場合
A^k=A^(k-1) A=
【0 0 0】【0 1 1】
【0 0 0】【0 0 1】
【0 0 0】【0 0 0】
=
【0 0 0】
【0 0 0】
【0 0 0】

したがってk≧3 で A^k=0(べき零行列)になります。

回答No.2

dice_korokoro

おはようございます。

ちょっと安直に質問した感を受け取れなくもないですけどね。

基本的には、A^kの各成分をkの式で表せたなら、それらkの式がどのような2以上の整数kに対しても
A^k=0
が成り立つことを示せれば良いわけで。

こんな場合は、帰納法を使ってみるとか考えを膨らませていくのが妥当でしょう。

質問は、そのような可能性に挑戦してみてからしても遅くはないでしょうね。

回答No.1

jcpmutura

A^2=A*A
[0,1,1][0,1,1]
[0,0,1][0,0,1]
[0,0,0][0,0,0]
=
[0,0,1]
[0,0,0]
[0,0,0]

A^3=(A^2)A=
[0,0,1][0,1,1]
[0,0,0][0,0,1]
[0,0,0][0,0,0]
=
[0,0,0]
[0,0,0]
[0,0,0]
=0
だから
Aはべき零行列である