- ベストアンサー
数学 行列
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
A= [0,1,1] [0,0,1] [0,0,0] A^2は0になりません A^2= [0,0,1] [0,0,0] [0,0,0] となります そうならなければA^2の計算が間違っています A^3=0になります A^3=0とならなければA^3の計算が間違っています A^2=A*A=(AとAの積)の各成分は以下のように求めます 0,1,1←Aの1行目に 0,0,0←Aの1列目をかけると 0+0+0=0←A^2の(1行1列)成分 0,1,1←Aの1行目に 1,0,0←Aの2列目をかけると 0+0+0=0←A^2の(1行2列)成分 0,1,1←Aの1行目に 1,1,0←Aの3列目をかけると 0+1+0=1←A^2の(1行3列)成分 0,0,1←Aの2行目に 0,0,0←Aの1列目をかけると 0+0+0=0←A^2の(2行1列)成分 0,0,1←Aの2行目に 1,0,0←Aの2列目をかけると 0+0+0=0←A^2の(2行2列)成分 0,0,1←Aの2行目に 1,1,0←Aの3列目をかけると 0+0+0=0←A^2の(2行3列)成分 0,0,0←Aの3行目に 0,0,0←Aの1列目をかけると 0+0+0=0←A^2の(3行1列)成分 0,0,0←Aの3行目に 1,0,0←Aの2列目をかけると 0+0+0=0←A^2の(3行2列)成分 0,0,0←Aの3行目に 1,1,0←Aの3列目をかけると 0+0+0=0←A^2の(3行3列)成分 だから A^2=A*A= [0,0,1] [0,0,0] [0,0,0] となる A^3=A^2*A=(A^2とAの積)の各成分は以下のように求めます 0,0,1←A^2の1行目に 0,0,0←Aの1列目をかけると 0+0+0=0←A^3の(1行1列)成分 0,0,1←A^2の1行目に 1,0,0←Aの2列目をかけると 0+0+0=0←A^3の(1行2列)成分 0,0,1←A^2の1行目に 1,1,0←Aの3列目をかけると 0+0+0=0←A^3の(1行3列)成分 0,0,0←A^2の2行目に 0,0,0←Aの1列目をかけると 0+0+0=0←A^3の(2行1列)成分 0,0,0←A^2の2行目に 1,0,0←Aの2列目をかけると 0+0+0=0←A^3の(2行2列)成分 0,0,0←A^2の2行目に 1,1,0←Aの3列目をかけると 0+0+0=0←A^3の(2行3列)成分 0,0,0←A^2の3行目に 0,0,0←Aの1列目をかけると 0+0+0=0←A^3の(3行1列)成分 0,0,0←A^2の3行目に 1,0,0←Aの2列目をかけると 0+0+0=0←A^3の(3行2列)成分 0,0,0←A^2の3行目に 1,1,0←Aの3列目をかけると 0+0+0=0←A^3の(3行3列)成分 だから A^3=(A^2)A= [0,0,0] [0,0,0] [0,0,0] =0 だから Aはべき零行列である
その他の回答 (4)
- tmppassenger
- ベストアンサー率76% (285/372)
因みに、次元定理って既に学習していますか？ （wikipediaでは別の名前になってますが https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ) 次元定理を学習済みだとすると、今の場合3x3行列だから、Aがもし羃零なら必ずA^3=Oになるはずだから、3乗まで試せばいいはず、というのが分ります。
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
>A^kしても0になりません。 k=1,k=2では0になりません。 k≧3では0になります。 k=1の場合 A^1=A= 【0 1 1】 【0 0 1】 【0 0 0】 ≠ 【0 0 0】 【0 0 0】 【0 0 0】 k=2の場合 A^2=A A= 【0 1 1】【0 1 1】 【0 0 1】【0 0 1】 【0 0 0】【0 0 0】 = 【0 0 1】 【0 0 0】 【0 0 0】 ≠ 【0 0 0】 【0 0 0】 【0 0 0】 k=3の場合 A^3=A^2 A= 【0 0 1】【0 1 1】 【0 0 0】【0 0 1】 【0 0 0】【0 0 0】 = 【0 0 0】 【0 0 0】 【0 0 0】 k=4の場合 A^4=A^3 A= 【0 0 0】【0 1 1】 【0 0 0】【0 0 1】 【0 0 0】【0 0 0】 = 【0 0 0】 【0 0 0】 【0 0 0】 k≧5の場合 A^k=A^(k-1) A= 【0 0 0】【0 1 1】 【0 0 0】【0 0 1】 【0 0 0】【0 0 0】 = 【0 0 0】 【0 0 0】 【0 0 0】 したがってk≧3 で A^k=0(べき零行列)になります。
- dice_korokoro
- ベストアンサー率22% (2/9)
おはようございます。 ちょっと安直に質問した感を受け取れなくもないですけどね。 基本的には、A^kの各成分をkの式で表せたなら、それらkの式がどのような2以上の整数kに対しても A^k=0 が成り立つことを示せれば良いわけで。 こんな場合は、帰納法を使ってみるとか考えを膨らませていくのが妥当でしょう。 質問は、そのような可能性に挑戦してみてからしても遅くはないでしょうね。
関連するQ&A
- 大学数学の行列の質問です
次の問いがわかりません。得意な方解法をお願いします。 ３行３列の行列A=［2 -1 0］…一行目［0 0 1］…二行目［2 0 1］…三行目 とする。 このとき||A||1の値（1は下付になってます）を求めよ。答…４ ３行３列の行列A=［ -1 1 0］…一行目［0 1 0］…二行目［2 -1 1］…三行目 とする。 このとき||A||∞（∞は下付になってます）の値を求めよ。答…４
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の行列式のことですが
２行２列の行列式で、A=[ a b c d]で、a b は一行目、c dは二行目。A A=A2 ２は２乗の意味。は解るのですが、。A0 0は0 乗の意味。で、A0 は、単位行列Eと、同じと、考えて、よいのでしょうか？ 参考書等に、ないので。宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 分からない行列式の問題を教えてください
次のような行列式の問題がありました。（２問あります） (1)100次正方行列で、右下がりの対角成分が全て３で、他が全て０である行列を考える。 この時、この行列の行列式の値を求めろ。 ヒント：行展開と列展開とのどちらを使ってもよい (2)100次正方行列で、右上がりの対角成分が全て３で、他が全て０である行列を考える。 この時、この行列の行列式の値を求めろ。 ヒント：行展開と列展開と行列式の性質（行または列を一組入れ替えると符号が反転する）とのどれを使ってもよい これらのそれぞれ答えは、 (1)3＾100 (2)- 3＾100 となっています。 (1)に関しては多分自分で考えた方法であっていると思うのですが、(2)に関しては自分の答えは(1)の答えと同じ3＾100になってしまい、本に載っている解答と異なってしまいました。 私が考えたやり方は、(2)で与えられた行列の第１列と第１００列、第２列と第９９列、第３列と第９８列、・・・、第５０列と第５１列を入れ替えて（計50回、列を入れ替えて）、符号（-1）＾50とくっつけて、(1)で考えたときの行列式と同じ形に持っていき（符号は結局、正になるので）、(1)の答えと同じとしたのですが、これは間違いなのでしょうか？ それとも問題集の答えのミスでしょうか？ 詳しい方解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 『行列の２つの列を入れ替えると行列式はー1倍になる』ことの証明
お世話になります。よろしくお願いします。 『行列の２つの“列”を入れ替えると行列式はー1倍になる』ことの 証明についてです。 手持ちの参考書には 『行列の２つの“行”を入れ替えると行列式はー1倍になる』ことの 証明は載っていました。 i行とk行を入れ替える時、τ＝σ(i k)と置くといううまいやり方でした。 列の入れ替えについては、行の入れ替えに 転置行列の公式detA＝det(tA)を用いればよいのですが、 この公式を用いずに直接「２列の入れ替えで行列式がー1倍になる」ことを示したいと思っているのですが、なかなかできずに困っています。 どなたかできる方、よろしくお願い致します。 方針があってないかもしれませんが、以下途中まで自分でやった部分です。 _________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 行列A＝(a_ij)のi列とk列を交換した行列をA'＝(b_ij)、 S_nをｎ次の対称群をします。 detA＝Σ[σ∈S_n]sgn(σ)a_1σ(1)・・a_rσ(r)・・ ・・a_tσ(t)・・a_nσ(n) σ(r)＝i, σ(t)＝kとする。またσ(-1)はσの逆置換とする。 b_1σ(1)・・b_rσ(r)・・b_tσ(t)・・b_nσ(n) ＝b_1σ(1)・・b_ri・・b_tk・・b_nσ(n) ＝a_1σ(1)・・a_rk・・a_ti・・a_nσ(n) ＝a_1σ(1)・・a_σ^(-1)(i)k・・a_σ^(-1)(k)i・・a_nσ(n) _____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
kが2で0にならなくても、kは何でもいいから0になるのを探せばいいのですね！ありがとうございました！