数学 べき零行列 べき等行列

質問

べき零行列、べき等行列というものがどういうか分かりません。そして画像の問題の答えはどうなりますか？問10です。

回答No.3

jcpmutura

A^2=0ではありません
A^2≠0
=
[0,0,1]≠0←1行3列目は1で0はありません
[0,0,0]
[0,0,0]
A^2≠0
A^3=0

そこに書いてある通り
・あるkに対して,A^k=0を満たす正方行列Aをべき零行列
・A^2=Aを満たす正方行列Aをべき等行列
というので
まずA^2を計算してA^2=AかA^2≠Aか調べて
A^2=AであればAはべき等行列
A^2≠AであればAはべき等行列でない
A^2≠Aの場合
A^2=0かA^2≠0か調べる
A^2=0であればべき零行列
A^2≠0の場合A^3を計算して
A^3=0かA^3≠0か調べる
A^3=0であればべき零行列
…

A=
[0,1,1]
[0,0,1]
[0,0,0]
B=
[2,1,1]
[-3,-2,-3]
[1,1,2]

A^2=A*A
[0,1,1][0,1,1]
[0,0,1][0,0,1]
[0,0,0][0,0,0]
=
[0,0,1]
[0,0,0]
[0,0,0]
だから
Aはべき等行列ではない

B^2=B*B
[2.,1.,1.][2.,1.,1.]
[-3,-2,-3][-3,-2,-3]
[1.,1.,2.][1.,1.,2.]
=
[2.,1.,1.]
[-3,-2,-3]
[1.,1.,2.]
=B
だから
Bはべき等行列である

A^3=(A^2)A=
[0,0,1][0,1,1]
[0,0,0][0,0,1]
[0,0,0][0,0,0]
=
[0,0,0]
[0,0,0]
[0,0,0]
=0
だから
Aはべき零行列である

回答No.2

info222_

A=A^1=[0,1,1;0,0,1;0,0,0]=[0],
A^2=AA=[0,0,0;0,0,0;0,0,0]=[0]
n=k(k≧2),
A^k=[0,0,0;0,0,0;0,0,0] が成立すると仮定すると
A^(k+1)=A^kA^1=[0,0,0;0,0,0;0,0,0] [0,1,1;0,0,1;0,0,0]=[0,0,0;0,0,0;0,0,0]=[0]
数学的帰納法により
A^k=[0] (k≧2)
∴定義よりAはべき乗ゼロ行列

B^2=[2,1,1; -3,-2,-3; 1,1,2] [2,1,1; -3,-2,-3; 1,1,2]
=[2,1,1; -3,-2,-3; 1,1,2]=B
∴定義よりBはべき等行列

回答No.1

drum_KT

他の質問にも答えましたが、これも、問のすぐ上に説明が書いてあります。これを読んでも意味がわからないのですか？