logの計算です。

質問

log(10)2=a,log(10)3=bとするとき、a,bを用いて表す問題です。

(1)log(10)1/12

(2)log(10)15

(3)log(10)√0.75

(4)log(2)2.7

(5)log(18)3乗根√24です。

(5)だけ分かりにくい表現になってしまいました。
これらの問題の解説お願いします。

回答No.4

noname#223065

> log(10)2=a,log(10)3=bとするとき、a,bを用いて表す問題です。

　このように設問で指定されているということは、logの式を、log(10)2とlog(10)3で表せればいいということになりますね。以下で「^2」とあるのは「2乗」ということで、^3なら「3乗」、^(-1)なら「マイナス1乗」で逆数（2の逆数は1/2という風に分数の分母にしたもの）ということとご理解ください（エクセルでも使える書き方です）。

> (1)log(10)1/12

　log(10)の式ですから、中の1/12を2と4で表せればいいわけです。1/12＝12^(-1)＝(2^2×3)^(-1)となることを使います。

　log(10)1/12
＝log(10)(2^2×3)^(-1)
＝-log(10)(2^2×3)　←logの中が何乗の形ならlogの何倍に書き直せる（公式ですね）
＝-{log(10)(2^2)＋log(10)3}　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる（公式ですね）
＝-{2log(10)2＋log(10)3}　←logの中が何乗の形ならlogの何倍に書き直せる
＝-(2a＋b)　←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した
＝-2a-b　←カッコを外した

> (2)log(10)15

　15＝3×5で、5は2と3のかけ算では表せませんね。しかし、5＝10/2としてみると、「log(10)10＝1となることが使えそうだ」と分かります。

　log(10)15
＝log(10)(3×5)　←15＝3×5
＝log(10)(3×10/2)　←5＝10/2
＝log(10)3＋log(10)(10/2)　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝log(10)3＋log(10)(10×2^(-1))　←1/2＝2^(-1)
＝log(10)3＋log(10)10＋log(10)2^(-1)　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝log(10)3＋log(10)10-log(10)2　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝log(10)3＋1-log(10)2　←log(10)10＝1を使った
＝b＋1-a　←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した（これでも正解）
＝-a＋b＋1　←アルファベット順に並べ替えてみた（単なる整頓と思ってください）

> (3)log(10)√0.75

　これも、0.75が2と3のかけ算で表せないか考えてみます。0.75の末尾が5なので「2倍したら0だな」と思いつきます。0.75＝1.5/2＝3/(2^2)とできますね。それと、√という記号は何乗の形では「^(1/2)」となることも使えます。

　log(10)√0.75
＝log(10)√{3/(2^2)}　←0.75＝3/(2^2)を使って2と3だけにした
＝log(10){3/(2^2)}^(1/2)　←√を^(1/2)と書き直した
＝(1/2)log(10){3/(2^2)}　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝(1/2)log(10){3×(2^2)^(-1)}　←1/(2^2)を(2^2)^(-1)と書き直した
＝(1/2){log(10)3＋log(10)(2^2)^(-1)}　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝(1/2)(log(10)3-log(10)2^2)　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝(1/2)(log(10)3-2log(10)2)　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝(1/2)(b-2a)　←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した（これでも正解）
＝b/2-a　←カッコを外してみた（これでも正解）
＝-a+b/2　←アルファベット順に並べ替えてみた（単なる整頓）

> (4)log(2)2.7

　2.7を27とできれば、27＝3^3ということが使えそうです。2.7＝27/10＝3^3×10^(-1)と書き直せばできそうですね。log(2)であることが気になりますが、とりあえずおいておきましょう。

　log(2)2.7
＝log(2)(27/10)
＝log(2){3^3×10^(-1)}　←ここまではlog(2)の中の計算
＝log(2)(3^3)＋log(2)(10^(-1))　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝3log(2)3-log(2)10　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる

　log(2)については設問で何も書かれていませんから、log(10)に直すことを考えてみます。logの公式で、底を変える公式があります（ネットなどで調べると出てきますよ）。その公式で底の2を10に直すと、log(2)x=(log(10)x)/(log(10)2)となります。これを使ってみます。

　3log(2)3-log(2)10
＝3(log(10)3/log(10)2)-log(10)10/log(10)2　←底を変える公式を使った
＝3(b/a)-1/a　←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した（これでも正解）
＝3b/a-1/a　←カッコを外してみた（これでも正解）
＝(3b-1)/a　←分母が同じaなのでまとめてみた

(5)log(18)3乗根√24です

　3乗根√24は、√の横に小さい3を書いてあるのでしょうか。そうだと、24の3乗根ということになります。そうだとして続けてみます。24の3乗根は24^(1/3)と書けます（√が^(1/2)と書けるのと似たようなもの）。24＝8×3＝2^3×3ですね。底の18はとりあえずおいておきましょう。

　log(18)3乗根√24
＝log(18)(24^(1/3))　←3乗根を^(1/3)で書き直した
＝(1/3)log(18)24　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝(1/3)log(18)(2^3×3)　←24＝2^3×3
＝(1/3){log(18)(2^3)＋log(18)3}　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝(1/3){3log(18)2＋log(18)3}　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる

　底を変える公式を使うと、log(18)2＝(log(10)18)/(log(10)2、log(18)3＝(log(10)18)/(log(10)3)です。aとbで表すには、log(10)18をlog(10)2とlog(10)3で表せればよさそうです。

　18＝2×3^2ですから、なんとかなりそうです。先に、log(10)18を計算しておきましょう。

　log(10)18
＝log(10)(2×3^2)　←18＝2×3^2
＝log(10)2＋log(10)(3^2)　←logの中がかけ算ならlogの足し算にできる
＝log(10)2＋2log(10)3　←logの中が何乗ならlogの何倍にできる
＝a＋2b　←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した

　log(10)18がなんとかなりましたので、元の式の変形を続けてみます。

　(1/3){3log(18)2＋log(18)3}
＝(1/3){3(log(10)18)/(log(10)2)＋(log(10)18)/(log(10)3)}　←底を変える公式を使った
＝(1/3)(log(10)18){3/(log(10)2)＋1/(log(10)3)}　←分子が同じなのでくくった
＝(1/3)(a+2b)(3/a＋1/b)←log(10)2=a,log(10)3=bで書き直した（これでも正解）
＝(a+2b){1/a＋1/(3b)}　←1/3を2番目のカッコの中にかけてみた