関数

質問

図のように、座標平面のＸ軸上を原点O(0.0)から点Ａ(6.0)まで動く点Pがある。このとき、線分OP、PAをそれぞれ１辺とする正方形OPBC、PADEをＸ軸より上側につくる。また、２点O、Eを通る直線をＬ、２点A、Bを通る直線をmとし、Ｌとmの交点をQとする。座標軸の1目もりを１cm、円周率をπとする。

(1)点PのＸ座標が4のとき、△QOAの面積を求めなさい。

(2)点Pが動くことにより点Qも動き、△QOAの面積も変化する。△QOAの面積が最も大きくなるとき、その面積を求めなさい。

答えは(1)36/5 (2)9です。

(1)はわかったのですが、(2)が分かりません。求め方を教えてください！

回答No.3

noname#252159 · ベストアンサー

厳密にはNo.1さんの説明が必要かもしれません。
　しかし、中学2年生の段階で円周角にっいて、まだ学習していないことも考えられますので、次のような回答を考えました。

☆　交点Ｑのy座標は、点Eと点Bの間にあること。
☆　点PがOAの中間より左にあるときは、点Pが右に進むにしたがって点Qのy座標は増加すること。
☆　点PがOAの中間より右にあるときは、点Pが右に進むにしたがって点Qのy座標は減少すること。
☆　よって、点PがOAの中点にあるとき、点Qのy座標は最大になること。

下の図では点E、点Q、点Bのそれぞれのｙ座標を E.y、Q.y 、Ｂ.y と表すことにします。

お礼

画像付きでありがとうございました！とても助かりました！！

回答No.4

noname#222520

別解です。

点Pのx座標をαとすると、直線Lの傾きは、(6-α)/αであるから、この式は、
y=(6-α)x/α－(1)
また、直線mの傾きは、-α/(6-α)であり、直線mは点A(6,0)を通るから、この式は、
y=-αx/(6-α)+6α/(6-α)－(2)
(1)(2)から、交点Qのx座標は、3α^2/(α^2-6α+18)
これを(1)に代入して、交点Qのy座標は、
-3(α^2-6α)/(α^2-6α+18)
=-3{(α^2-6α+18)-18}/(α^2-6α+18)
=54/(α^2-6α+18)-3
=54/{(α-3)^2+9}-3
よって、交点Qのy座標は、α=3のとき最も大きくなり、この値は、54/9-3=3になります。
△QOAの面積は、OAを底辺としたときの高さ（交点Qのy座標の値）に比例します。
以上から、△QOAの面積が最も大きくなるときの面積は、
6*3/2=9cm^2

お礼

わざわざ別解も載せてくただき、ありがとうございました！

回答No.2

noname#222520

(2)
点Pのx座標をαとすると、直線Lの傾きは、(6-α)/α
また、直線mの傾きは、-α/(6-α)
{(6-α)/α}*{-α/(6-α)}=-1であるから、直線Lと直線mは直交し、∠OQA=90°になります。
これから、∠OQAはOAを直径としたときの円の円周角になります。
△QOAの面積は、OAを底辺としたときの高さ（点Qからx軸に下した垂線の長さ）に比例します。
この高さが最も大きくなるのは、この円の半径である6/2=3cmのときになるので、△QOAの面積が最も大きくなるときの面積は、
6*3/2=9cm^2

※円周率πは用いませんが、これは円で考えるというヒントだと思われます。

回答No.1

asuncion

(1)
P(4, 0)より、OP = 4, PA = 2
よって、B(4, 4), E(4, 2)
直線L：y = x / 2
直線M：y = ax + bがA, Bを通るから
0 = 6a + b ... (1)
4 = 4a + b ... (2)
(1) - (2)より、2a = -4. a = -2
(1)に代入して 0 = -12 + bよりb = 12
直線M：y = -2x + 12
L, Mの交点Qを求める。
y = x / 2 ... (3)
y = -2x + 12 ... (4)
(3) - (4)より、0 = 5x / 2 - 12, x = 24 / 5
(3)に代入して、y = 12 / 5
Q(24 / 5, 12 / 5)
∴△QOA = 6 * 12 / 5 / 2 = 36 / 5

(2)
△QOAの面積が最も大きくなるのは、Qのx座標がOAの半分である3のときである。
このとき、BとE、さらにQは一致し、(3, 3)である。
∴△QOAの最大値は6 * 3 / 2 = 9

∴△QOA = 6 * 2 / 2 = 6

お礼

丁寧な説明ありがとうございました！