平面図形と回転の問題です。

質問

平面図形と回転の問題です。

以下の五角形ABCDE（添付画像参照）において、AB=2、BC=AE=√３、CD=DE＝1、∠ABC＝∠BCD＝∠DEA=90° である。

(1) ３点B,D,Eが一直線上にあることを示せ。

五角形ABCDEが辺ＢＣ上を延長した半直線Ｌ上を反時計回りに滑ることなく回転し始める。

(2) このとき、点A並びに点Bの軌跡として最も適当なものを以下（添付画像参照）の（ア）～（エ）の中から選べ。

(3) 辺CDが初めて半直線L上に重なるまで、五角形ABCDEが通過した領域の面積を求めよ。ただし円周率はπとする。

解答・解説お願いします。
考え方の提示のみではなく、答えまでよろしくお願いいたします

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

5角形ABCDEにおいて、
|AB|=2
|BC|=|AE|=√3
|CD|=|DE|=1
∠ABC=∠BCD=∠DEA=90°

(1)
|BD|^2=|BC|^2+|CD|^2=3+1=4
|BD|=2
cos(∠BDC)=|CD|/|BD|=1/2
∠BDC=60°
|AD|^2=|AE|^2+|DE|^2=3+1=4
|AD|=2
△ABDは正3角形だから
∠ADB=60°
cos(∠ADE)=|DE|/|AD|=1/2
∠ADE=60°
∠BDE=∠ADB-∠ADE=60°-60°=0
だから
3点B,D,Eが一直線上にある

5角形ABCDEが辺BC上を延長した半直線L上を時計回りに滑ることなく回転し始める。
90°回転後の5角形をA'B'CD'E'とすると
(2)このとき、
Cを中心に90°回転し
AはA'に,BはB'に移動し
D'を中心に60°回転し
A'はLに,B'はA'に移動するから
点A並びに点Bの軌跡として最も適当なものは
(ア)

(3)辺CDが初めて半直線L上に重なるまで、
5角形ABCDEが通過した領域の面積をS
回転後の5角形をA'B'CD'E'
とすると
|AC|=√7
∠ACA'=π/2=90°だから
|扇形CAA'|=7π/4
△ABEは|AE|=√3,|BE|=1,∠AEB=90°の直角3角形だから
|△ABE|=√3/2
△BCEは底辺|BC|=√3,高さ1/2だから
|△BCE|=√3/4
△CD'E'は底辺|CD'|=1/2,高さ√3/2だから
|△CD'E'|=√3/4
だから
S
=|扇形CAA'|+|△ABE|+|△BCE|+|△CD'E'|+|△ACE|-|△A'CE'|
=|扇形CAA'|+|△ABE|+|△BCE|+|△CD'E'|
=7π/4+√3/2+√3/4+√3/4
=(7π/4)+√3

回答No.2

noname#222520

(1)
三平方の定理から、
AD=BD=√{(√3)^2+1^2}=√4=2
よって、三角形ABDは一辺の長さが2の正三角形です。
三角形ABDにおいて、頂点Aと辺BDの中点（これをMとします。）を線分で結ぶと、
三角形ABMと三角形ADMは、3辺の長さがそれぞれ等しく合同であり、
∠AMB=∠AMD=90°
三平方の定理から、
AM=√(2^2-1^2)=√3
以上から、中点Mと頂点Eは一致するので、3点B、D、Eは一直線上にあります。

(2)
質問文中には「五角形ABCDEが辺BC上を延長した半直線L上を反時計回りに滑ることなく回転し始める」とありますが、添付画像では半直線Lが右に向かって伸びていて、「時計回りに滑ることなく回転し始める」ということを示唆しています。
自分は、あくまでも反時計回りで考えたので、そのように回答します。

添付画像にある五角形ABCDEの状態を図(a)、これから辺ABが半直線L上に重なるように頂点Bを支点（中心）として反時計回りに90°回転した状態を図(b)、これから頂点Dが半直線L上に乗るように頂点Aを支点（中心）として反時計回りに180°-(∠DAE+∠EAB)=120°回転した状態を図(c)、これから辺CDが直線L上に重なるように頂点Dを支点（中心）として反時計回りに180°-(∠CDE+∠EDA)=60°回転した状態を図(d)とします。
なお、図(a)における頂点Aを点A1、頂点Bを点B1、図(b)における頂点Aを点A２、図(c)における頂点Bを点B2、図(d) における頂点Aを点A3、頂点Bを点B3とします。

・点Aの軌跡
点A1→点A2
点B1を支点（中心）とする半径A1B1（長さ2）の4分の1円の弧
点A2→点A3
半直線L上にある頂点Dを支点（中心）とする半径A2D（長さ2）の6分の1円の弧
点A3→点A1
半直線L上にある頂点Cを支点（中心）とする半径A3Cの4分の1円の弧
なお、AC=√{2^2+(√3)^2}=√7（三平方の定理から）

・点Bの軌跡
点B1→点B2（点A3に一致）
点A2を支点（中心）とする半径A2B1（長さ2）の3分の1円の弧
点B2→点B3
半直線L上にある頂点Dを支点（中心）とする半径B2D（長さ2）の6分の1円の弧
点B3→点B1
半直線L上にある頂点Cを支点（中心）とする半径B3C（長さ√3）の4分の1円の弧

以上は、実際に描いてみれば分かります。
答えは(ア)で、時計回りの場合と全く同じになります。

(3)
このような問題では、(1)(2)がヒントになっていることが多いので、その方向で考えてみました。
そして、反時計回りで考えたことが、「怪我の功名」であったとも言えます。
3点B、D、Eが一直線上にあることから、五角形ABCDEは線分BDによって、直角三角形ABEと直角三角形BCDに分割することができます。
先ず、図(a)における直角三角形BCDが、頂点Bを支点（中心）として、反時計回りに90°回転することを考えると、線分BDは、半径BDで中心角90°の扇形を形成します。
また、線分（辺)BCは、半径BCで中心角90°の扇形を形成します。
そして、両者が重ならないのは、線分（辺)BCが30°回転するまでの間です。この間に、線分（辺）CDが通過する面積と、線分（辺)BCが30°回転するまでに形成する扇形の面積の和は、直角三角形BCDの面積になります。
これは、直角三角形ABEについても同様で、結局図(a)から図(b)までの間に、五角形ABCDEが通過した領域の面積は、半径BD=2、中心角90°の扇形の面積と、直角三角形BCDの面積と、直角三角形ABEの面積の和、つまりこの扇形の面積と、五角形ABCDEの面積の和になります。
なお、扇形の半径は、回転の支点（中心）と、この支点（中心）から最も離れた点を結ぶ線分(辺)とします。
例えば、線分（辺）BCを基準に考えても、この殆どの部分は線分BDを半径とする扇形と重なるので、結局は線分BDを半径とする扇形を考えることになり、それであれば初めから線分BDを半径とする扇形を考えた方が合理的です。
なお、この場合には、AB=BDなので、どちらで考えても同様です。

以上の考察を踏まえて整理すると、次のようになります。

・図(a)から図(b)までの間に五角形ABCDEが通過した領域の面積
扇形の半径はBD=2（ABとしても同様）、中心角は90°、この面積は2^2π*90/360=π
五角形ABCDEの面積は、(1*√3)/2*2=√3
よって、π+√3

・図(b)から図(c)までの間に五角形ABCDEが通過した領域の面積
扇形の半径はAC=√7（前述）、中心角は120°、この面積は(√7)^2π*120/360=7π/3
よって、7π/3+√3
なお、この場合の扇形の半径であるAC=√7は、三角形の一辺にはなりませんが、この場合でも考え方が正しいことは、奇しくもANo.1の方が示されています。

・図(c)から図(d)までの間に五角形ABCDEが通過した領域の面積
扇形の半径はBD=2（ADとしても同様）、中心角は60°、この面積は2^2π*60/360=2π/3
よって、2π/3+√3

これから、反時計回りに回転した場合の求める面積は、
π+√3+7π/3+√3+2π/3+√3=4π+3√3

参考までに、図(d)から図(a)までの間に五角形ABCDEが通過した領域の面積を求めると、
扇形の半径はAC=√7、中心角は90°、この面積は(√7)^2π*90/360=7π/4
であるから、この領域の面積は7π/4+√3
これは、五角形ABCDEが時計回りに回転した場合の答えになります。
（この状態を鏡に映せば、時計回りに回転した状態になります。）