• 締切済み

数学III　パラメータ表示のグラフの面積・体積

教えて頂きたいことがあります。 今、大学への数学『微積分　基礎の極意』を補助的に使用しているのですが、その中でパラメータ表示の面積・体積（P.55,57）で以下のような表示があるのですが、その意味の違いがよく分かっていません。 Δ（f(t))が(Δf(t)/Δt)×Δtと変化しているのですが、するとΔ（f(t))とΔf(t)にどのような意味の違いがあるのでしょうか。 宜しくお願い致します。

みんなの回答

  • f272
  • ベストアンサー率46% (7995/17085)
回答No.1

同じ意味です。同じでなかったらΔtで約分してΔ（f(t))と(Δf(t)/Δt)×Δtが同じにならないでしょ。

yassanmama
質問者

お礼

ありがとうございます。もう少し考えてみたいと思います。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 数学のパラメータ表示の積分なのですが、

    数学のパラメータ表示の積分なのですが、 x=cos^4 y=sin^4　x軸　y軸　で囲まれた面積で、 範囲は(0≦θ≦π/4)です。 微分すると、dx/dθ＝-4sinθcos^3θと出てしまい、 グラフの形が読み取れません。 これはどうすればいいんでしょうか？ どなたか教えてください。

  • 球体の面積のパラメータ表示

    半径がr(>0)の球面のパラメータ表示を利用して、球面の面積を求めよ、と言う問題です。面積をSとしたときに　　S=4πr^2　　に帰着するように、式を展開したいです。そのパラメータ表示は、 １． P(u,v)=(r cosu cosv, r cosu sinv, r sinu) ２． Q(x,y)=(x, y, ±r^2-√(x^2-y^2) ) ３． Φ(u,v)=(√(r^2-v^2) cosu, √(r^2-u^2) cosv, v) の３つです。 １．の場合だと、面積要素｜Pu×Pv｜（偏微分同士の外積）を求めて、それをuとvで二重積分すれば良いんですよね？ ∬｜Pu×Pv｜dudv になると思うのですが・・・。 その際に、積分範囲は、どのようになるのでしょうか。どなたか、教えてください。お願いします。

  • 球 表面積 体積 関係

    こんにちは。 現在、IＡIIＢの範囲を復習していて気がついたことがあります。 球の体積Ｖ＝4/3πｒ^3 球の表面積Ｓ＝4πｒ^2 ですが、これは球の体積を微分したら球の表面積になりますよね。 数学に苦手意識をもっており、今もあまり好きな教科ではないのですが、相互関係などを理解していけば好きになっていけるかなと考えています。 物理も微分積分を使用したら楽しいなどとも聞きますので。 この球の体積と表面積の関係を式と理屈を合わせて教えていただけると幸いです。 よろしくお願いします。

  • 正多面体の体積を微分すると表面積になる

    高校生です。　数学の自由研究で、正多面体の体積と表面積の関係を調べています。 球の体積の公式を微分するとその表面積になることから、同じプロセスを正多面体でも試してみました。 始めは上手くいきませんでしたが、一辺の長さをXととるのではなく、多面体の中心から面までの距離をXととることで、体積の微分から表面積を求めることができました。 これらの成り立つ理由として、数学の先生から、中心から面までの距離Xが極わずかに増加した場合に、体積の変化はおおよそ表面積と一致するからではないか、という意見をもらいました。 これを概念的にではなくて、数式を用いてなんとか証明したいのですが、なにかいい案はないでしょうか。 （ちなみに、正多角形の中心から辺までの長さをXとしたときも、面積を微分すると周の長さになりました。）

  • 高校数学におけるパラメータやパラメータ表示とは

    画像の文章の下から数えて3番目からの内容の理解はできましたが、なんだか理解が浅いような気がします。 そこで、高校数学におけるパラメータやパラメータ表示の意味などをより詳しく分かりやすく教えてください。 回答お願いします。

  • 回転体の体積＆表面積について

    区間[a, b]において，y= f(x) を x軸周りに回転してできる回転体の 体積V，及び表面積S の以下公式について質問があります． ◆V = π∫y^2 dx ◆S = 2π∫y √{(dx)^2 + (dy)^2} （積分区間は，共に[a, b]） 回転体の体積における微少変化 ΔVは，円錐の体積変化 ΔV = (1/3)π*(y + dy)^2*(x +dx) - (1/3)π*y^2*x において， y*dx = x*dy，及び y >> dy より (dy)^2≒0 を用いて， ΔV = π*y^2*dx となることから，上記公式は理解できます． しかし，回転体の表面積における微少変化 ΔSは，円錐の表面積変化 ΔS = π*(y + y+dy)*√{(dx)^2 + (dy)^2} において， y+dy≒y と近似できる理由が不明のため，上記公式が理解できません． 回転体の表面積において，y+dy≒y と近似できる理由を教えていただけますでしょうか． また，体積の考え方について，間違いがあれば指摘していただけますでしょうか． よろしくお願いいたします．

  • 数学III積分の問題

    数学III積分の問題 問１ 0≦x≦2分のπ　の範囲において、y=2sin2x とy=cosxに囲まれた部分の面積を求めよ。 問２ f(x)　は　g(t)dt　を　-x　から　x　まで積分したものである。 g(t)=　eのｔ乗＋１　分の　eのｔ乗＋eの－ｔ乗 のとき、ｆダッシュ(x) と　ｆ（ｘ）　を求めよ。 ただし、G(t) が g(t) の原始関数であるとき、f(x) = G(x)ーG(-x)になることを用いてよい。 式を言葉に示して非常にみにくいですが、数学IIIのわかるかた、どなたか解説お願いします。

  • 数学III（体積）の「傘型求積」は用いてよい？

    最近斜回転体の体積を求めるのに、 円錐の側面積を積分する「傘型求積」を知りました。 しかし…これって大学入試で用いてよいのでしょうか？？？ 理屈的には高校の範囲を超えてないと思うんですが…。 以前Ｔ大学の教授に話を聞く機会があって、 その方は「ドンドン用いて下さい」と言っていたんですが…。 大学入試の研究もしている方なので信じたいのですが、 なんせこの方法を載せている参考書を見たことがない（ＴＴ） どうか教えて下さいm(_ _)m

  • 回転体の側面積と体積

    回転体の側面積の求め方に興味が湧き、 積分による求積方法を知りました。 以下のウェブページがとても参考になったのですが、 http://21.xmbs.jp/shindou-294836-ch.php?guid=on その中で疑問に思うこと（考えてもわからない…）があります。 どうして、側面積の微小変化としてdxを選んではいけないのでしょうか？ 回転体の体積の微小変化にはdx（断面積×dx）を採用していいのに、 側面積ではds（断円周×ds）を採用しなければならない。 その違いはどこからくるのでしょうか？ 微小変化を考える場合、dsはdxで近似していいような気がするのですが、 どこに考え方の落とし穴があるのか教えてください（＊＿＊）

  • 円錐・角錐の体積は「底面積×高さ÷3」になるのはなぜ？

    三角形の面積の公式は、「底辺×高さ÷2」です。 「なんで2で割るの？」と聞かれたら、答えは簡単。 「この三角形と同じ三角形を上下ひっくり返してくっつけてごらん。 平行四辺形になったでしょ。この平行四辺形の面積を2で割ればいいんだよ。」 では、円錐・角錐などの錐体の体積は「底面積×高さ÷3」ですが、 なぜ3で割るのでしょうか？ 私が昔中学生の頃、へっぽこな数学教師にこれを質問したところ、 「きっと昔の人が円柱と円錐の容器に水を入れて、その量を比べて 3で割る事を発見したんだと思います。 数学的に証明する事は私には分かりませんが、きっと私なんかよりも ずっと賢い人が証明する手段を知っていると思いますので、大学に 行ってから先生に聞いてみてください。」などとテキトーな事を言ってました。 さて、錐体の体積の求め方を教えていただけますか？ 「積分」がキーワードだと思うんですが…。 （ちなみに私はかなり昔に大学の理系を卒業しました）

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する