回転体の側面積と体積

質問

回転体の側面積の求め方に興味が湧き、
積分による求積方法を知りました。
以下のウェブページがとても参考になったのですが、
http://21.xmbs.jp/shindou-294836-ch.php?guid=on
その中で疑問に思うこと（考えてもわからない…）があります。

どうして、側面積の微小変化としてdxを選んではいけないのでしょうか？
回転体の体積の微小変化にはdx（断面積×dx）を採用していいのに、
側面積ではds（断円周×ds）を採用しなければならない。
その違いはどこからくるのでしょうか？

微小変化を考える場合、dsはdxで近似していいような気がするのですが、
どこに考え方の落とし穴があるのか教えてください（＊＿＊）

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞では「何に沿って積分するか？」はどうやって判断するのですか？
＞例えば、体積は、xに沿ってもよく、側面積はxに沿ってはいけない、
＞その判断基準は何なのでしょうか？

先の回答でも書いていましたが、
dxや ds自体を長さをもった量としてとらえればどうですか？
＞逆の言い方をすれば、微小な厚みを表す量が dxであるということです。
＞側面積は皮の幅×長さを足し合わせたものであり、皮の幅は曲線に沿ったものであるということです。

先にも例で上げていた直線：y＝ 2xを例に考えてみれば、
・体積は「輪切り」にして、その厚みが x軸に沿った dx
・側面積は「皮むき」にして、その幅が 直線に沿った ds

ということになるのですが、これでは弱いですか？＾＾；

お礼

お蔭さまで、回転体の体積・側面積について
積分での計算に自信が持てそうです。

しかし“何に沿って積分するのか”については、
まだ私には敷居が高いので、もっと積分について
勉強しないといけないと感じました。

ひとまず、このQAはクローズしたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

ざっくりした言い方だと「何に沿って積分を実行するか」ということになります。

・体積の場合、dxは「微小な厚み」として与えられている量になります。
逆の言い方をすれば、微小な厚みを表す量が dxであるということです。

・側面積の場合、dsは「皮むきの皮の幅」として与えられている量になります。
これも上と同じように逆の言い方をすれば、
側面積は皮の幅×長さを足し合わせたものであり、皮の幅は曲線に沿ったものであるということです。

球の表面積については、以下の質問がありました。
http://okwave.jp/qa/q6484800.html

そして、
＞微小変化を考える場合、dsはdxで近似していいような気がするのですが、
これはNGです。
微小な量であっても、その変化の仕方は関数によって変わります。
たとえば、直線：y＝ 2xを考えてみると、xの変化量：dxに対して、yの変化量は 2* dxとなります。
そして、直線に沿った変化量は √( dx^2+ (2* dx)^2 )＝ √5* dxとなります。

言葉では「微小」でも、中身は違うということです。
実は、置換積分の「置き換え」も同じ考え方になっています。
http://okwave.jp/qa/q5903551.html

お礼

ありがとうございます。
なるほど、dsは、曲線の長さの積分計算そのものなのですね。
dsで近似するほうが、自然な感じがしてきました。

では「何に沿って積分するか？」はどうやって判断するのですか？
例えば、体積は、xに沿ってもよく、側面積はxに沿ってはいけない、
その判断基準は何なのでしょうか？

体積の場合は、リーマン積分の考え方で、
下から体積を抑える、上から体積を抑える、
そういった微小体積を考えますが、

側面積の場合には、dxで幅を考えても、
これは、下から側面積を抑えていることにはならないことはわかります。

側面積を下から、そして上から抑える方法はあるでしょうか？
それが、dsに沿うことに対応するのでしょうか。