回転体の表面積

質問

回転体の表面積を簡単に求める方法はないでしょうか？

例えば，回転体の体積は
(断面積)×(重心の動く距離)で求められるので
断面積をS，回転軸と重心の距離をｒとすると
２πｒSで求められます。

回転体の表面積も簡単な方法で求められると聞いた事があるのですが，やり方が分かりません。それともそんな方法はホントはないのでしょうか？
御存知の方がおられましたら，教えてくださいお願いします。

回答No.4

Linandtete · ベストアンサー

直線（線分）の重心はその線の中心点と一致しますから実は簡単です。
対象とする三角形では、Ｌから AC, BC までの重心の距離は同じで 3cm、AB までは、そのまま 1cm になります。たとえば、AC による面積は 5cm*２π*3cm で得られます。もちろん回転体全体では、AB, BC による面積を算出して加えなければなりません。
曲線ですと No.2 さんの紹介された URL の式が（線の長さ）×（重心の動く距離）という意味になっています。

お礼

おお～！！
スゴイですね～(^o^)！
解決しました！気持ちのモヤモヤも解消されて、スッキリさわやかな気分です！
ありがとうございました！

回答No.3

Linandtete

体積と全く同一の公式が成立します。
質問と同様の表現をとりますと、
（線の長さ）×（重心の動く距離）で、総長をＬ、回転軸と重心の距離をｒとすると、２πｒＬで求められます。
一般に、線の重心（細い針金の重心のように考えます）を求める計算は断面積の重心の場合より複雑です。

お礼

ああ！なるほどです！
でも線の重心がどのように求められるかが難しいですね。
たとえばAB＝3cm，BC＝4cm，CA＝5cmの直角三角形ABCがあって、ABに平行な直線Lで回転させるとき、ABとLの距離を1cmとすると、Lと重心の距離はどのように求められるのでしょうか？ただし、このとき、三角形ABCと直線Lは重なっていないものとします。もしよろしければご教授下さい！お願いします。

回答No.2

tmsn4dp

こんにちは。
回転体の表面積の算出は、なかなか簡単に求める事は出来ません。
わたしは、下記のＨＰをヒントに解決しました。よろしかったら参考にしてみて下さい。

参考URL：

http://junko-k.com/collo/collo99.htm

回答No.1

uyama33

ありません。
解析概論を立ち読みすると
楕円を回転させたときの話が出ています。
面倒なことだけはすぐわかると思います。