数3 回転体の体積

質問

質問
1,y=sin2xとy=sin3xのグラフは画像のような感じですか？
2,黒い斜線の囲まれる範囲をx軸周りで1回転させると回転体の体積はどうなりますか？また、青の斜線の範囲を一回転させると、回転体の体積はどうなりますか？ご教授お願いします。

回答No.3

info222_

No.1~2 です.
ANo.2 の2. の計算の続きです.
2.
I= pi ∫ [0~pi/5] (sin^2(3x)-sin^2(2x)) dx
+pi ∫ [pi/5~pi/3] (sin^2(2x)-sin^2(3x)) dx
+pi ∫ [pi/3~2pi/5] sin^2(2x)dx
+pi ∫ [2pi/5~pi/2] sin^2(3x) dx
+pi ∫ [pi/2~3pi/5] (sin^2(3x)-sin^2(2x)) dx
= (pi/2) ∫ [0~pi/5] (1-cos(6x)-1+cos(4x)) dx
+(pi/2) ∫ [pi/5~pi/3] (1-cos(4x)-1+cos(6x)) dx
+(pi/2) ∫ [pi/3~2pi/5] (1-cos(4x))dx
+(pi/2) ∫ [2pi/5~pi/2](1-cos(6x)) dx
+(pi/2) ∫ [pi/2~3pi/5] (1-cos(6x)-1+cos(4x)) dx
= (pi/2) {[-(1/6)sin(6x)+(1/4)sin(4x)] [0~pi/5] }
+(pi/2) {[-(1/4)sin(4x)+(1/6)sin(6x)] [pi/5~pi/3] }
+(pi/2) { [x-(1/4)sin(4x)] [pi/3~2pi/5] }
+(pi/2) { [x-(1/6)sin(6x)] [2pi/5~pi/2] }
+(pi/2) { [-(1/6)sin(6x)+(1/4)sin(4x)] [pi/2~3pi/5] }
=(pi/24){2sin(6pi/5)-3sin(4pi/5)}
+(pi/24) {3sin(4pi/5)-2sin(6pi/5)}+(√3)pi/16
-(pi/8) sin(8pi/5) +pi^2/30-(√3)pi/16
+(pi/12) sin(12pi/5)+pi^2/20
+(pi/24) { 2sin(18pi/5) -3sin(12pi/5) }
=(pi/24){-2sin(18pi/5)+5sin(12pi/5)-3sin(8pi/5)-4sin(6pi/5)+6sin(4pi/5)}+(1/12)pi^2
=(5pi/12){sin(2pi/5)+sin(pi/5)}+(1/12)pi^2
=(5pi/48){√(10+2√5)+√(10-2√5)}+(1/12)pi^2
(=2.83680619810411 ... )

(pi : 円周率 π=3.141592653589793 ... )

回答No.2

info222_

ANo.1の2. の訂正

2.
I= pi ∫ [0~pi/5] (sin^2(3x)-sin^2(2x)) dx
+pi ∫ [pi/5~pi/3] (sin^2(2x)-sin^2(3x)) dx
+pi ∫ [pi/3~2pi/5] sin^2(2x)dx
+pi ∫ [2pi/5~pi/2] sin^2(3x) dx
+pi ∫ [pi/2~3pi/5] (sin^2(3x)-sin^2(2x)) dx
= ...
以降はANo.1の計算のやり方で計算してみて下さい。
急用で出かけますあとは任せます。

回答No.1

info222_

1.
X=3pi/5
OK

2.
I= pi ∫ [0~pi/5] (sin^2(3x)-sin^2(2x)) dx
+pi ∫ [pi/5~2pi/5] (sin^2(2x)-sin^2(3x)) dx
+pi ∫ [2pi/5~3pi/5] (sin^2(3x)-sin^2(2x)) dx
=(pi/2) ∫ [0~pi/5] (1-cos(6x)-1+cos(4x)) dx
+(pi/2) ∫ [pi/5~2pi/5] (1-cos(4x)-1+cos(6x)) dx
+(pi/2) ∫ [2pi/5~3pi/5] (1-cos(6x)-1+cos(4x)) dx
=(pi/2) {[-(1/6)sin(6x)+(1/4)sin(4x)][0~pi/5]}
+(pi/2) {[-(1/4)sin(4x)+(1/6)sin(6x)][pi/5~2pi/5]}
+(pi/2) {[-(1/6)sin(6x)+(1/4)sin(4x)][2pi/5~3pi/5]}
=(pi/24)(-2sin(18pi/5)+7sin(12pi/5)-6sin(8pi/5)-4sin(6pi/5)+6sin(4pi/5))
=5pi(3sin(2pi/5)+2sin(pi/5))/24
=5pi(3√(10+2√5)+2√(10-2√5))/96
(≒2.636804199001... )