数学III（体積）の「傘型求積」は用いてよい？

質問

最近斜回転体の体積を求めるのに、
円錐の側面積を積分する「傘型求積」を知りました。
しかし…これって大学入試で用いてよいのでしょうか？？？
理屈的には高校の範囲を超えてないと思うんですが…。

以前Ｔ大学の教授に話を聞く機会があって、
その方は「ドンドン用いて下さい」と言っていたんですが…。
大学入試の研究もしている方なので信じたいのですが、
なんせこの方法を載せている参考書を見たことがない（ＴＴ）
どうか教えて下さいm(_ _)m

回答No.4

felicior

いわゆる「傘型求積」や「バウムクーヘン求積」ってのは定理でも公式でもなく
普通の定積分の応用ですから自由に使えるということだと思います。

その代わり「傘型求積公式より…」なんて書くだけでは分かってもらえないので、
どこをdxとおくのかなどキチッと書いて説明してください。
「バウムクーヘン型」なんてのは書くのもちょっと恥ずかしいですし(笑)

一方、パップス・ギュルダンは定理ですから、「定理より」とは書けても
そもそも範囲外だからとバツを食らう可能性もあると思います。
ロピタルも然り。

お礼

ありがとうございます！
なるほど…やっぱり高校の範囲を超えた定理なんですね、この２つは。
高校では証明できないから、可能性としては×もある、と。

一応自分が傘型求積を用いるときは、
x=t上にある母線を回転させてできたが円錐の側面積を、
2交点間で積分すると、求める体積になる、
という旨を記述するよう心がけています。
ただ、イマイチうまく表せなくて、そのつど表現が違うかも（汗）
さすがにモロに「バウムクーヘン」とは書けませんね（笑）

回答No.3

cipher_roy

理系の大学を卒業した者の経験から言わせていただくと、入試における
数学の問題では、理論展開さえきちんと合っていれば、『その展開が一般的な
高校の授業でやっているものかどうか』は問われません。高校生でも
大学や最先端レベルの定理・公式を理解できるのであれば、大学入学後の
授業でもより良く理解してくれるだろうと大学側は判断します。

ただ、途中の展開中の公式や注釈の詰めが甘ければ減点対象になったり
加算対象にしてもらえないことも充分ありえます。使うなら生半可な
レベルでなく、完全に使いこなせているというところまではいかなくては
なりません。

お礼

ありがとうございます！
この文面からすると、パップス・ギュルダンなんかも使っていいということでしょうか？
だとすると、劇的だと思うんですが…＼＾＾／

回答No.2

owata-www

確かにそういう問題ありましたね、そうか傘型求積を使えば簡単に解けますね～ (苦笑

＞赤本だと、例えばy=xのまわりの回転体だとして、y=x上に新たに変数をおいて、y=xから曲線までの距離を求めて、その距離を半径として回転させて、最後にxに戻して…なんて大変な作業をした挙句、xの式が複雑だったりすると、ちょっと辛いなと思いまして
私はこういう問題は、x軸周りに回転させてましたね

どうやらパッと見たところ、色々な参考書に傘型求積を使った解法が載っているらしいので使っても問題ないかと

というより、むしろ私はパップスギュルダンの方を使っていいのか疑問ですね

お礼

あら～、私も大学への数学とか、結構見たんですが…。
調べ足りなくてすいませんm(_ _)m
x軸まわりもやろうと思ったんですが、y=xまわりで力尽きました（苦笑）

パップスギュルダンは、さすがに使おうと思いません。
感覚的には分かるんですが、高校数学を超えているかと思うので。
見た参考書はほとんど参考としてしか載っていませんでした。
「検算に」と明記しているものもあったかと思います。
傘型、バウムクーヘンくらいまでじゃないかと…。

２度もお返事、ありがとうございました！！
使う自信がつきました（笑）

回答No.1

owata-www

用いていいと思いますよ、ただその前にその知識が必要な問題を私は知りませんが

お礼

ありがとうございます！
確かに必要はないのかもしれませんが、
ここ５年くらいの斜回転体の問題は、
傘型求積を用いたほうが圧倒的に早く解けると思うんです。
そんなことはないんでしょうか？？
赤本だと、例えばy=xのまわりの回転体だとして、
y=x上に新たに変数をおいて、y=xから曲線までの距離を求めて、
その距離を半径として回転させて、
最後にxに戻して…なんて大変な作業をした挙句、
xの式が複雑だったりすると、ちょっと辛いなと思いまして＾＾；