回転体の体積

質問

どうも上手くいきません

問題
次の関数で囲まれた部分をＸ軸で回転させた時に出来る回転体の体積を求めよ

１、y=-x^2+2x y=x
２、y=x^2-4x+3 y=-x^2+2x-1

１の答えは７π／１０で合っているのでしょうか？
２は立式すら自信が無いのですがy=x^2-4x+3で出来る回転体から
y=-x^2+2x-1で出来る回転体を引けばよいのですよね？すると解が負に
なってしまうのですが。。。困りました。

２については立式から途中式まで教えていただきたいです。

よろしくお願いします

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

こんにちは。
＞次の関数で囲まれた部分をＸ軸で回転させた時に出来る回転体の体積を求めよ

１、y=-x^2+2x y=x
２、y=x^2-4x+3 y=-x^2+2x-1

１、y=-x^2+2x
y=x
この二つの関数の交点の座標を求めると、
-x^2+2x=x　を解いてx=1
したがって、求めるｘ軸で回転させたときの体積は、
Π∫(0から1まで){(-x^2+2x)^2-x^2}dx
=Π[1x^3/3+x^2/2]0から1まで
=Π/5

２、
y=x^2-4x+3
y=-x^2+2x-1 のグラフをまず書いてみましょう。
y=(x-2)^2-1より、頂点(2,-1)で下に凸のグラフです。
y=-(-x-1)^2より、頂点(1,0)で上に凸のグラフです。
ここで注意すべきは、二つのグラフによって囲まれた部分が、
ｘ軸よりも下側に来ているということです。

次に、交点のｘ座標を求めておきます。
x^2-4x+3=-x^2+2x-1 とおくと、
2x^2-6x+4=0
(x-2)(x-1)=0
x=1,2となります。

したがって、求める体積は
Π∫（１から２まで）{(x^2-4x+3)^2-(-x^2+2x-1)^2}dx
=Π∫(x^4-4x^3+3x^2)dx
=Π/3
となります。

回転したときに、どちらのグラフが上か分からなければ、
絶対値をつけて考えてもいいと思います。
つまり、
Π∫（１から２まで）｜(-x^2+2x-1)^2-(x^2-4x+3)^2｜dx
としておくといいでしょう。

多分、おできになると思いますので、もう一度やってみてくださいね。

お礼

できました。ありがとうございました

回答No.1

ageha18

「y=x^2-4x+3で出来る回転体から y=-x^2+2x-1で出来る回転体を引けばよいのですよね？」
これで正しいと思います。
ただ、グラフを書いてもらえば分かると思いますがこの二つのグラフに囲まれる部分はｘ軸より下にきます。なので計算するときは－をつけた関数で計算します。それを忘れてるのでは？？

Ｖ＝π∫(1から2)(-x^2+4x-3)^2dx－π∫(1から2)(x^2-2x+1)^2dx

これで計算したら1/3πになりました。計算ミスしてなければ...。
やってみてください！

１のほうは私が計算したら1/5πになってしまいました。。。こっちは自信ないです...。ごめんなさい(>_<)