至急お願いします 高校数学 体積

質問

xyz空間に５点A(1,1,0),B(-1,1,0),C(-1,-1,0),D(1,-1,0),P(0,0,3)を取る。四角錐PABCDのx^2+y^2>=1をみたす部分の体積を求めよ。

解説　x>=y>=0の部分Dの体積を求め８倍すれば良い。
Dはx>=1/√2の範囲に有り、平面x=tで切ると切り口は長方形となりその面積は(t-√1-t^2)×3(1-t)である

解説の断面が長方形になるという所なのですが、何故長方形だと言えるのですか？x>=y>=0の部分は４倍で四角錐を表すのではないですか？何故８倍なのか分かりません

回答No.5

178-tall

訂正の訂正。

> x>=y>=0の部分は４倍で四角錐を表すのではないですか？
　　　　　↑
「x>=y>=0 の部分」は 45 度の範囲、つまり (360 度の) 8 分の 1 。

回答No.4

178-tall

ANo.1 の訂正と蛇足。

> x>=y>=0の部分は４倍で四角錐を表すのではないですか？
　　　　　↑
「x>=y>=0 の部分」は 45 度の範囲、つまり (180 度の) 8 分の 1 。

>Dはx>=1/√2の範囲に有り、平面x=tで切ると切り口は長方形となりその面積は(t-√1-t^2)×3(1-t)である
　　　　　↑
「その面積」を眺めると、
「四角錐 PABCD 」を平面 x=t で切ったときできる、四角錐の切断面にできる正方形辺長の半分 t と、円柱の切断面にできる弦長の半分 √(1-t^2) との差に、切断面の高さ 3(1-t) を乗じたもの。
つまり、「その面積」は長方形のもの。

回答No.3

info222_

No.2です。

4角錐PABCDと [ x>=y>=0 ] の部分Dの立体図を描きましたので添付します。
図中の黄色の部分QAEHがDの立体図形です。
参考にして下さい。

[図の説明]
Dの立体QAEHは 対称性から 立体QAFHと同じ体積ですから
立体QAEFの1/2の体積となります。

立体QAEFと同じ立体が4個できます(添付図の黄色とピンクに塗った立体図形)。
したがって
求める体積V(黄色とピンクに塗った立体図形を合わせた体積)が
Dの立体QAEH(図の黄色の立体)の体積の 8倍となることがわかるでしょう。

回答No.2

info222_

>解説　x>=y>=0の部分D体積を求め８倍すれば良い。
>Dはx>=1/√2の範囲に有り、平面x=tで切ると切り口は長方形となり
その面積は(t-√(1-t^2))×3(1-t)である

x=t (1/sqrt(2) <=t<=1), √(1-t^2) <=y<=t, L=t-√(1-t^2)
0<=z<=3(1-t), H=4(1-t)
長方形面積S=LH=(t-√(1-t^2))×3(1-t)

>解説の断面が長方形になるという所なのですが、何故長方形だと言えるのですか？

Dの>x>=y>=0の部分の図を描けば長方形になることは明らかだろう !

>x>=y>=0の部分は４倍で四角錐を表すのではないですか？何故８倍なのか分かりません

x>=y>=0の部分は8倍です。
Dの>x>=y>=0の部分の図を描けば1/8になることは明らかだろう !

>解説　x>=y>=0の部分D体積を求め８倍すれば良い。
>Dはx>=1/√2の範囲に有り、平面x=tで切ると切り口は長方形となり
その面積は(t-√(1-t^2))×3(1-t)である

x=t (1/sqrt(2) <=t<=1), √(1-t^2) <=y<=t, L=t-√(1-t^2)
0<=z<=3(1-t), H=3(1-t)
長方形面積S=LH=(t-√(1-t^2))×3(1-t)

積分以前に, 3次元空間のグラフや立体図形の表現手法について
復習しておいてください。

>四角錐PABCDのx^2+y^2>=1をみたす部分の体積V

V=8 ∫[1/√2, 1] Sdt=8 ∫[1/√2, 1] 3(1-t)(t-√(1-t^2)) dt
=8 ∫[1/√2, 1] (3t-3t^2) dt-8 ∫[1/√2, 1] 3(1-t)√(1-t^2) dt
=V1-V2
V1=8 ∫[1/√2, 1] (3t-3t^2) dt=8 [3t^2/2-t^3][1/√2, 1]=6-8(1-√2/4) =2√2-2
V2=8 ∫[1/√2, 1] 3(1-t)√(1-t^2) dt
=4[(2+3t+2t^2)√(1-t^2)+3sin^-1(t)][1/√2, 1]
=3π-6-2√2
V=V1-V2=4+4√2 -3π ... (Ans.)

回答No.1

178-tall

>解説の断面が長方形になるという所なのですが、何故長方形だと言えるのですか？
　　　　　↑
「四角錐 PABCD 」の (平面 x=t で切) った断面らしいから、(対称) 台形とでもいうべき？

> x>=y>=0の部分は４倍で四角錐を表すのではないですか？
　　　　　↑
「x>=y>=0 の部分」は 45 度の範囲、つまり 8 文分の 1 なのでは？