空間内で放物線を回転させたときの体積

質問

＜問題＞
xyz空間内で、z=x^2ー3/4, y=0 で表される放物線をz軸のまわりに１回転してできる放物面を平面z＝xで切ったとき、放物面と平面z＝xで囲まれる部分の体積を求めよ。

空間は最も不得意な領域なので、図自体がうまく描けません。解くどころではありません。どなたか解答をよろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

立体は、z=x^2+y^2-3/4 ですから、平面z=x との交線のxy平面への正射影は円周(x-1/2)^2+y^2=1 です。
よって求める体積Ｖは、
V=∫[-1/2~3/2]{∫[-√{1-(x-1/2)^2}~√{1-(x-1/2)^2}]{x-(x^2*y^2-3/4)}dy}dx
=pi/2.
となりました。
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結果は計算ミスがあるかもしれません。

お礼

早くも解答をありがとうございました。何とか図解をして、立式を追っかけてみます！