体積

質問

x＾2+y＾2+z＾2=<a＾2の中で回転放物面

x＾2+y＾2=zより下の部分の体積の求め方を教えてください。

回答No.2

onakyuu · ベストアンサー

半径ａの球のうち回転放物面の下部に含まれる部分
の体積を求めればいいのですが、半径ａの球のうち
回転放物面の上部に含まれる部分の体積の方が計算
しやすいのでまずそれを求めて、後で球の体積
４ａ^３/３から引くととよいでしょう。

半径ａの球のうち回転放物面の上部に含まれる部分
とは、以下の式を満たす部分です。
x＾2+y＾2 =< a＾2-z＾2
x＾2+y＾2 =< z
z=z'となるz軸に垂直な平面がこの部分を切ると円に
なりますがこの円の面積は、
z'>a ならば　０、
(-1+√(1+a^2))/2 < z' < a ならば (a＾2-z'＾2)π、
0 < z' < (-1+√(1+a^2))/2 ならば z'π、
z'< 0 ならば ０、
となります。

それゆえに
(a＾2-z＾2)πをz=(-1+√(1+a^2))/2 からaの範囲で
積分したのものと
z'πを0から(-1+√(1+a^2))/2の範囲で積分したもの
を計算すると体積が出ます。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

tarame

よこ軸がｚ軸、たて軸がｙ軸の平面座標において
円 y^2＋z^2＝a^2　と　放物線 ｙ＝√ｚ で
囲まれた部分(左の部分)をｚ軸のまわりに回転させた
回転体の体積を求めればよいかと思います。

お礼

ありがとうございます。