体積の計算について

質問

x^2+y^2≦a^2 かつy^2+z^2≦a^2 かつz^2+x^2≦a^2で囲まれる部分の体積を重積分を用いて解く方法を教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>重積分を用いて解く方法を教えてください。

わかりやすく文章にして求めた解答が
参考URLにそっくり載っています。

共通部分の対称性から16等分立体の１つを計算し16倍し体積を求めれば良いでしょう。
D1={(x,y,z)|x≧0,y≧0,z≧0,x≧y,x^2+y^2≦a^2,y^2+z^2≦a^2,x^2+z^2≦a^2}
重積分で表せば以下のようになります。積分範囲は参考URLの方を参考にして下さい。

V=16∫∫∫[D1] dxdydz
=16{∫[0→a/√2] dx∫[0,x] dy∫[0→√(a^2-x^2)] dz
+∫[a/√2,a] dx∫[0,√(a^2-x^2)] dy∫[0→√(a^2-x^2)] dz}
=16{∫[0→a/√2] √(a^2-x^2)dx∫[0,x] dy
+∫[a/√2,a] √(a^2-x^2)dx∫[0,√(a^2-x^2)] dy}
=16{∫[0→a/√2] x√(a^2-x^2)dx +∫[a/√2,a] (a^2-x^2)dx}
=16{ [-(1/3)(a^2-x^2)^(3/2)][0→a/√2] +[xa^2 -(1/3)x^3][a/√2,a] }
=16{(1/3)(1-1/√8)a^3+a^3-a^3/√2-(1/3)(1-1/√8)a^3}
=16{a^3-a^3/√2}
=8(2-√2)a^3

参考URL：

http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/mmon/sekiz014.html

お礼

分かりやすい回答ありがとうございました。