体積！

質問

重積分で体積を求めたいのですが、ある図形での手法がわかりません。

0≦x+y≦1 , 0≦y+z≦1 ,0≦x+z≦1

上に書いた範囲の図形です。
今までは、z = f(x,y) にxとyの範囲が決まっている、とゆう条件が主だったので、
このような問題の解き方がサッパリなわけです…

誰かお助けください。

回答No.4

shkwta · ベストアンサー

重積分についてのヒントです。

(1)まず、条件を書き出します。次の６つです。
（ア）0≦x + y　　（イ）x + y≦1
（ウ）0≦y + z　　（エ）y + z≦1
（オ）0≦x + z　　（カ）x + z≦1

(2)この平行六面体は、平面 x-y=0 の中に、向かい合う２つの辺を含みます（0=y+zと0=x+zの交線、y+z=1とx+z=1の交線）。そこで、x-y=0を境にして２つの図形に分割します（三角柱２つになります）。
（キ）x - y≦0　…　図形Ａ
（ク）0≦x - y　…　図形Ｂ

(3)（エ）と（オ）、（ウ）と（カ）からそれぞれ、
（ケ）-1≦x - y　　（コ）x - y≦1

(4)図形Ａでは、（エ）（オ）から（サ）が得られます。（ケ）は、（サ）が成り立つzの存在を保証します。

（サ）-x≦z≦1 - y

(5)図形Ａでは、（キ）と（エ）から（カ）が得られます。また、（キ）と（オ）から（ウ）が得られます。また、（サ）から（エ）（オ）が得られます。したがって同値関係は、
（ア）（イ）（キ）（ケ）（サ）⇔（ア）～（カ）の全部と（キ）
※並んでいる命題は、すべてandで結ぶ

したがって、（ア）（イ）（キ）（ケ）の４条件で規定されるxy平面上の領域について、（サ）で決まるz方向の厚さ 1 + x - y を積分すれば図形Ａの体積が求められます。

(6)図形Ｂでは、（ウ）（カ）から（ス）が得られます。（コ）は、（ス）が成り立つzの存在を保証します。
（ス）-y≦z≦1 - x

(7)図形Ｂでは、（ク）と（カ）から（エ）が得られます。また、（ク）と（ウ）から（オ）が得られます。また、（ス）から（ウ）（カ）が得られます。したがって同値関係は、

（ア）（イ）（ク）（コ）（ス）⇔（ア）～（カ）の全部と（ク）
※並んでいる命題は、すべてandで結ぶ

したがって、（ア）（イ）（ク）（コ）の４条件で規定されるxy平面上の領域について、（ス）で決まるz方向の厚さ 1 - x + y を積分すれば図形Ｂの体積が求められます。

以上で求めたＡ、Ｂの体積の和が図形の体積です。
なお、こちらの計算では体積は1/2となりました。

補足

おぉ、確かに答えは1/2です！
計算方法等はよく分かりました。

ただ、(2)の作業にちょっと…
ここはこの図形を考えて定義したのでしょうか？
つまり、とりあえず頭に図形が思い浮かべられることが解くための第一条件、ってことなんですかねぇ…

回答No.5

shkwta

No.4の補足への回答です。

(1)被積分関数は、x-y=0 を境にして異なる。
　x-y≦0では、f(x,y)=1+x-y
　x-y≧0では、f(x,y)=1-x+y
(2)積分範囲は 0≦x+y≦1かつ-1≦x-y≦1 である。

この２つが計算に必要です。では(1)(2)をどうやって思いつくか？私に関しては、図形を頭に思い浮かべるのも困難で、結局のところ図を描いてはじめてわかりました。図を描かないで、元の式「0≦x+y≦1かつ0≦y+z≦1かつ0≦x+z≦1」を見ただけで(1)(2)を思いつく方法があるなら、ぜひ知りたいです。

お礼

頭にコンピュータでも埋め込まないときついでしょうねぇ…(汗)

私も図を描いてみたのですが、そこまでたどり着けなかったんですよ。
最終的には模型まで…

良いアドバイスをいただけて嬉しいです。
どうもありがとうございました。

回答No.3

shkwta

この図形は、平行な２つの平面が３組、合計６枚の平面で囲まれた平行六面体です。
平行六面体は四角柱の一種なので、重積分を使わなくても「底面積×高さ」で面積が求められます。
底面は菱形です。図を描けば、底面積、高さともすぐわかります。
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重積分についての回答はすこしお待ちください。

回答No.2

at9_am

x>=0, y>=0, z>=0 が条件にあると思います（この条件がなければ∞です）。

＃１の方には悪いのですが、この図形は三角錐ではありません。たとえば、三角錐ならば(x,y,z)=(1/2,1/2,1/2)は含まれませんが、この図形には含まれます。

この問題は、やっかいな問題です。
今、z が与えられたとして、x, yの範囲はそれぞれ
0 <= x <= min{ 1-y, 1-z }
0 <= y <= min{ 1-x, 1-z }
となりますから、場合分けが必要になります。図を書くとわかりやすいと思いますが、具体的には、1 >= z >= 1/2 のとき断面積は正方形に、0 <= z <= 1/2 のとき断面積は５角形になります。

1 >= z >= 1/2 のとき、断面は
0 <= x <= 1-z
0 <= y <= 1-z
と書き表せますから、
∫[1, 1/2]∫[1-z, 0] (1-z) dx dz = 1/24
となります。一方 0 <= z <= 1/2 のとき、断面は
∫[z, 0] (1-z) dx + ∫[1-z, z] (1-x) dx = 1/2 - z^2
となります。
したがって
∫[1/2, 0] {∫[z, 0] (1-z) dx + ∫[1-z, z] (1-x) dx}dz
= ∫[1/2, 0] 1/2 - z^2 dz = 5/24
となります。
よって、体積 V は
V = 1/24 + 5/24 = 1/4
となります。

回答No.1

KENZOU

図形を書けば分かりやすいと思いますが...
今の場合、原点9(0,0,0)とx,y,z軸の各点(1,0、0)、(0,1,0)、(0,0,1)を結ぶ三角錐求積問題となりますね。そこでx+dxの距離で(y,z)平面に平行に三角錐を切断すると、その三角形の面積Sは
　　S=(1/2)yz
となります。ところでx+y=1よりy=1-x、またx+z=1よりz=1-xですから
　　S=(1/2)(1-x)^2
となります。そこで高さをdxとした場合その三角柱の体積dVは
　　dV=Sdx
となります。従って求める体積は
　　V=∫[0,1]Sdx=(1/2)∫[0,1](1-x)^2dx=1/6