とき方がわからない・・・

質問

z=x^2+y^2,　z=yで囲まれる立体の体積を求める問題
なんですが、条件はこれだけで普通の重積分とちがって積分範囲がないんでどうすればいいのかさっぱりわからないんです。全体の図はなんとなくわかるんですが・・・。わかる方いたら教えてください。

回答No.3

take008 · ベストアンサー

> まず連立不等式はどのようになるんですか？
あらら，
> 全体の図はなんとなくわかるんですが
というのでわかるかと思ったのですが,
回転放物面 z=x^2+y^2 と平面 z=y で囲まれた部分だから
x^2+y^2≦z≦y
です。
ｙを固定して考えると
S(y)=∫(y-x^2-y^2)dx （積分範囲 -√(y-y^2)≦x≦√(y-y^2)）
=4/3√(y-y^2)^3
V=∫S(y)dy （積分範囲 0≦ｙ≦1）
y-y^2=1/4-(y-1/2)^2 なので y-1/2=1/2sinθ で置換積分します。

お礼

ありがとうございます。がんばってみます

回答No.2

kabaokaba

適当な断面を作って
その断面が存在する範囲で
断面積を積分すればできるはず．

y=k で切断した断面は
z=x^2+k^2
z=k
であって，これで囲まれる部分の面積を求める
k^2 <= k の範囲でないと断面は存在しないから
この範囲で積分すればOKでしょう．

計算はめんどくさそうなので実行してませんが
(1/3)(k(1-k))^(1/2)をkで0から1まで積分する
という感じのような気がします．

＃図形そのものは回転放物面を
＃45度の平面でカットした感じかな

補足

それらしき式はでてきたんですけど
(1/3)(y(1-y))^(3/2)(yで0から1まで積分)
kabaokabaさんのように1/2乗としてでてきませんでした。どうしたらそうなるんですか？
あとそれのとき方がわかりません。
よろしければ教えてくれますか？お願いします。

回答No.1

take008

重積分を使わずに数学IIIの解き方でできます。
(1) 立体を連立不等式で表す。
(2) その式で，ｚ＝ｔ とするとｘｙ平面の図形（弓形）になる。
(3) その面積 Ｓ(ｔ) を ｔ で積分する。

(2)' ｙ＝ｔ とおいてもいいです。この場合，放物線と直線で囲まれた図形になります。
だから Ｓ(ｔ) を求めるのにｘで積分しなくてはいけません。

重積分なら
積分範囲が上の(2)を全部合わせた図形（半円）で，
被積分関数は，(1)の不等式の上面の式から下面の式を引いたものです。
これを逐次積分に直すと，(2)' のときと同じ計算をすることになります。

補足

回答ありがとうございます。
数学IIIをならってないのでよくわからないんですけど
まず連立不等式はどのようになるんですか？
x^2+y^2=>0しかわからないんです。。すいません