立体の体積

質問

a^2y^2+x^2z^2=b^2x^2とx=aで囲まれる図形の体積を求めたいのですが、どう計算したら良いのでしょうか？？
重積分の問題です。
図形が想像できないし、領域もよく分かりません。
答えは1/2・πabです。
計算の仕方を教えて下さい。お願いします。

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

xを固定してyz平面の図形を見ると
y^2/(b・x/a)^2+z^2/b^2=1　(0<a,bとする)
だから長軸長,短軸長はb・|x|/a,bです
形状は
x=一定の断面でz方向の軸長がby方向の軸長がb・|x|/aの楕円だから用意に頭に浮かびますね？
x=0の平面では楕円はつぶれていて線分になっています
この面積をS(x)とするとS(x)=π・b^2・|x|/aです
∫(0<x<a)・S(x)・dx=π・b^2・a/2ですね

楕円の面積は
x^2+y^2=1の円の面積がπであり
その円をx軸方向にa倍し
その円をy軸方向にb倍した楕円
x^2/a^2+y^2/b^2=1の面積がπ・a・b
であることから…

お礼

出来ました。ありがとうございました。