重積分

質問

球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)で囲まれた、円柱面x^2+y^2=ayの内部の体積の求め方がわかりません。
おそらく重積分で解くのだと思いますが、領域の定め方がわかりません。
ご指摘お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

A#1の補足について

>z≧0の場合だとなぜZ=0の体積の２倍になるのでしょうか。
>図のイメージがよくわかっていません。
>どうか教えていただけないでしょうか。

>球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)で囲まれた、円柱面x^2+y^2=ayの内部の体積の求め方がわかりません。

この立体は、zの代わりに-zと置いても球面の式も円柱面の式も同じになります（変化しません）。このことは立体がz=0(xy座標面)に対して面対称ということです。z≧0の方の体積とz≦0の方の体積が同じということなので、求める立体の体積はz≧0の方の体積を2倍すればいいと言うことです。

また、xの代わりに-xと置いても球面の式も円柱面の式も同じになります（変化しません）。このことは立体がx=0(yz座標面)に対して面対称ということです。求める立体の体積はx≧0の方の体積を2倍すればいいと言うことです。

お礼

有難うございます
ようやく理解出来ました。

回答No.2

info22_

#1です。
立体の形状の対称性から体積Vは、以下のような領域の積分として表せます。領域(D1,D2,D3)を図に描くようにして下さい。そうすると積分範囲が理解しやすいと思います。

V=2∬[D1]√(a^2-x^2-y^2)dxdy,D1:{(x,y)|x^2+(y-a/2)^2≦(a/2)^2}
=4∬[D2]√(a^2-x^2-y^2)dxdy,D2:{(x,y)|x^2+(y-a/2)^2≦(a/2)^2,x≧0}

x=a*r*cos(t),y=a*r*sin(t)(0≦r≦cos(t),0≦t≦π/2)とおけば
√(a^2-x^2-y^2)=a√(1-r^2), dxdy=r(a^2)drdt(r(a^2)はヤコビアン)
なので
V=4(a^3)∬[D3] r√(1-r^2)drdt,D3:{(r,t)|0≦t≦π/2,0≦r≦sin(t)}
=4(a^3)∫[0,π/2] dt∫[0,sin(t)]r(1-r^2)^(1/2)dr
=4(a^3)∫[0,π/2] (1/3)(1-cos(t)^3)dt
=2(3π-4)(a^3)/9

回答No.1

info22_

過去の同類の質問に回答しましたのでご覧ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4679348.html
ここではz≧0なので今回の体積はこの2倍になるでしょう。

補足

わかりやすい解答でした。
Z≧0の場合だとなぜZ=0の体積の２倍になるのでしょうか。
図のイメージがよくわかっていません。
どうか教えていただけないでしょうか。