体積の大小

質問

どちらの体積が大きいか考えているのですが、方法もしくは答えを教えてください。3次元の空間になると突然わからなくなるので、お願いします。
1<=x+y<=2
1<=y+z<=2
x,y,z={0,1}
で表される空間の体積と
2<=x+2y+z<=4
で表される空間の体積hどちらが大きいのでしょうか？
x,y,z座標が0以上の空間で考えています。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

#1です。
#2さんも後者の方が大きいとおっしゃっていますので、#1での回答に間違いはないのでしょう。

＞数学的にどうやって積分するのだろう？
とのことですので、積分で体積を求めてみましょう。
前者を求めます。・・・が、その前に確認です。x,y,z={0,1} って0≦x,y,z≦1でいいんですよね？違ったらごめんなさい。

1≦x+y≦2、1≦y+z≦2、x,y,z={0,1}

yを固定します、(y=tとおいてもいいです)
1-y≦x≦2-y、1-y≦z≦2-y、0≦x≦1、0≦z≦1・・・☆
これらを、0≦y≦1に注意して図示すると、☆の表す図形の面積が簡単に求まり、その面積をS(y)とします。
すると、求める体積は∫[0～1]S(y)dyになります。

同様に後者の方も、yを固定して、
2-2y<=x+z<=4-2y,x≧0、z≧0で表される図形の面積を求め、その断面積をyで積分すれば求まります。(積分の範囲はyのとりうる範囲です)

ここでは、yで固定した方が簡単だったので、 yを固定しましたが、別にxを固定してもいいし、zを固定してもいいです。

ほとんど暗算で計算したので、間違えているかもしれませんが、前者の体積は1/2、後者の体積は65/6です。#2さんのおっしゃるように、後者がかなり大きいですね。

ただ、どっちの立体も形さえイメージできれば、積分を使わなくても、求められそうな感じがします。

お礼

またまた回答ありがとうございます。昨日の夜プログラムを組み、なんとなくは体積の大小が解ったのですが丁寧に積分の方法まで教えていただき本当にありがとうございます。今から自分で積分を行ってみようと思います。本当に感謝しています。どうもありがとうございました。

回答No.2

neKo_deux

プログラムが出来るのでしたら、
・z,y,zを範囲内でループ
・刻み幅は0.1
・条件を満たす点数をカウント
のような雑な方法でもどちらが大きいか程度の判断は可能だと思います。

ちなみに、後者がかなり大きいようでしたが、後者の場合x,y,z={0,4}という条件で良いのでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。とても参考になる意見ありがとうございます。x,y,z={0,1}です。x,y,zの変数は{0,1}しか取らない値としています。いまからプログラムをつくってみようと思います。プログラムを組むことなどまったく考えていなかったので、本当に参考になりました。数学的にどうやって積分するのだろう？とか考えていました。もし、この問題に対してアドバイスがありましたら、またお願いします。どうもありがとうございす。

回答No.1

eatern27

前者の立体の体積をV、後者の立体の体積をUとします。

「1≦x+y≦2,1≦y+z≦2」⇒「2≦x+2y+z≦4」
が成り立つので、Vの内部(および周上)の点は、Uの内部(または周上)に存在します。

よって、V＜U。

ではないかなぁと、思いましたが、あまり深く考えてないので、正しいかは分かりません。

お礼

回答ありがとうございます。とても参考になりました。自分でまた熟考してみます。どうもありがとうございます。