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Geometrical Description of Simultaneous Equations
info222_の回答
x + y + z = 3 (1) 2x - 3y +3z = 7 (2) 3x - 2y + 4z = 6 (3) (1),(2),(3)の式の(x,y,z)は3次元空間の直交座標空間の座標点に対応させることができます。 (1),(2),(3)はそれぞれ、3次元座標空間では平面を表します。 (1)と(2)の平面は平行な平面でないので、交わり、その交わる点は一本の直線上にあります。この直線のことを交線と呼びます。 (1)と(2)を同時に満たす解は交線上の座標点(x,y,z)の全てですから(1)と(2)の解は無数に存在します。 つまり(1)と(2)の式は2つの式で、交線の直線を表す式とも言えます。 (1)+(2)=(3)となれば、(1)と(2)の交線が(3)の平面に含まれるということを意味します。つまり、(1)と(2)の交線上の全ての座標点(x,y,z)は(3)の平面上の座標点でもあるので、(3)の式も満たします。すなわち、(1),(2),(3)を同時に満たす解が無数に存在するこということです。 >(1)+(2)=(3) にならなければ解無しになると聞きましたがこれは正しいですか? 正しいです。 >又、この3つの式はどの様な形で解無しだという事はわかりますか? これは3次元空間直交座標で考えれば、(1)と(2)の交線が(3)の式が表す平面と交わらない、つまり、交線と(3)の平面が平行となっていて、(1)と(2)の解の全てが(3)の式を満たさないことを意味します。すなわち、((1),(2),(3)の3つの式を同時に満たす解が存在しない(解なし)ということです。 >例えば(1)と(2)の関係は解無数だが(3)が加わる事で解無しになるとか、 その通りです。 >3つとも並行で解無しだとか、 その場合もありますが、他にも、2つの平行でない平面の交線が、残りの平面と平行な場合も解なしとなります。 >3つの式がどういう形で解無しになっているのか、というのは計算してわかるものですか? 計算でも、わかります。 2つの方程式が同時に成立しない場合 たとえば x+y+z=3 ...(1) x+y+z=1 ...(2) の場合(1),(2)を同時に満たす解は存在しない(不能)ので解なしとなります。 また、 (2)つの式から、2つの変数を、他の1つの変数で表して、もう1つの敷に代入するとその式が成り立たない場合も解なしとなります。 たとえば 2つの式から x=z+1 ...(1)' y=2z-3 ...(2)' が導かれたとしよう。 もう1つの式が x+y-3z=5 ...(3) の場合(1)'と(2)'を(3)に代入すると -2=5 となって(3)式が成り立たず、 この場合も解なしとなります。
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詳しく説明して下さって有り難うございました