符号の誤植？

質問

符号が間違っている気がするので判断願います。

例題
周期Tの周期関数f(t)は必ず、同じ周期Tをもつ偶関数f_e(t)と奇関数f_o(t)の和の形、すなわち
f(t) = f_e(t) + f_o(t) // (1.25)
と書けることを示せ。

定義
偶関数 cos t, t^2など
f(-t) = f(t) // (1.23)
奇関数 sin t, t - t^3など
f(-t) = -f(t) // (1.24)
[解]
まずf(t)から
f_e(t) = { f(t) + f(-t) } / 2 // (1.26a)
f_o(t) = { f(t) - f(-t) } / 2 // (1.26b)
によって、関数f_e(t), f_o(t)を作ると、(1.25)は確かに成り立つ。

また、f(t)の周期性
f(t+T) = f(t) // (1.1)
を使って
f_e(t+T)
= { f(t+T) + f(-t-T) } / 2　←質問の箇所
= { f(t) + f(-t) } / 2
= f_e(t)
が示せるので、f_e(t)は周期Tの周期関数である。
こうして、f(t)は同じ周期を持つ偶関数成分と気関数成分の和で表されることが分かった。

…と本にあるのですが、この(-t-T)は(-t+T)の誤植でしょうか？
真相は書いた本人にしか分からないでしょうが、一般的に考えて判断をお願いします。

あと、もし誤植だったとしても、(-t-T)で周期性は示せるのでしょうか？
言い換えると、
f(t-T) = f(t)
と書いても周期性は示せますか？（時間は遡れる？遡れない？）

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

>>因みに、f(-t -T) = f(-t)となることはいいですよね？
> よくないです。（汗

任意のxに対し（敢えて記号を変えました） f(x+T) = f(x)なのだから、
x=-t-Tに対し、f( (-t -T) + T) = f(-t -T), よって f(-t) = f(-t -T)

お礼

なるほど、t自体が任意なので、-Tされた分を含んだtを定義した上でそれに+Tすると±0、よって
f(±0のt) = f(-Tされた分を含んだt)
になるんですね。
f( (-t -2T) + 2T) = f(-t -2T)
f( (-t -3T) + 3T) = f(-t -3T)
f( (-t -4T) + 4T) = f(-t -4T)
：
でも行けますね。

自力ではそんな発想は無理でした。
回答No.1も含め、ありがとうございました！

回答No.1

tmpname

自分で手を動かしてみましょう。

f_e(t) = { f(t) + f(-t) } / 2
と置いたといっているのだから、
f_e(t+T)
= { f( t+T) + f(-(t+T) ) / 2
= { f(t+T) + f(-t-T) } /2
でしょう？

因みに、f(-t -T) = f(-t)となることはいいですよね？

お礼

なるほど、ありがとうございます。
ああ、確かにtをt+Tに置換したらt+T全体に負符号がかかりますね。
納得です。

>> 因みに、f(-t -T) = f(-t)となることはいいですよね？

よくないです。（汗
周期性がf(t-T) = f(t)でも表せるなら、すんなりとf(-t -T) = f(-t)とできるんですけど…。
すみません、何故そうなるのか教えて下さい。