ラプラス逆変換が最後までできません・・・．

質問

[1]F(s) = ２ / s(s^2 + ２s + ２)

をラプラス逆変換していくと，

[2]f(t) = 1 + (- １ + i / ２)e^{-(1-t)t} + (- １ - i / ２)e^{-(1+t)t}

というところまではとどりつけるのですが，この式から最終的な答え，

[3]f(t) = １ - e^(-t) * (cost + sint)

にはどのようにしたらたどり着けるのか教えてくれないでしょうか．
できるだけ[2]～[3]を詳しく説明して頂けると助かります．
簡単な例題なんかを用いて説明してもらっても結構です．

よろしくお願いします．

回答No.2

osi_m

回答No.1と同じ者です。

＞e^{-(1-i)t} は分母にかかるのですか？

e^{-(1-i)t} は分子にかかります。
(-1+i)/2*e^{-(1-i)t}は、[(-1+i)/2] * [e^{-(1-i)t}]というつもりで書きました。

＞どのように計算したらいいのでしょうか。

第2項[(-1+i)/2*e^{-(1-i)t}]　と第3項[(-1-i)/2*e^{-(1+i)t}]を見比べると、第2項のiを-iに置き換えると第3項とまったく同じになります。
よって、（第2項）+（第3項）=2*Re((第2項))になります。Re((第2項))は(第2項)の実数部という意味です。
(a+ib)+(a-ib)=2*a=2*Re(a+ib)と同じことです。

後は、
e^{-(1-i)t}=e^(-t) * e^(it)で、
e^(it)=cos(t)+i*sin(t)の公式を使って計算していけば(第2項)の実数部がわかると思います。

回答No.1

osi_m

[2]が間違っていると思います。

F(s)=1/s + (-1+i)/2*1/(s+1-i) + (-1-i)/2*1/(s+1+i)　なので

f(t)=1 + (-1+i)/2*e^{-(1-i)t} + (-1-i)/2*e^{-(1+i)t}　になると思います。

これを計算していけば[3]になります。

補足

e^{-(1-i)t} は分母にかかるのですか？

L[e^(-at)] = 1/(s+a)...(1)

を参考にしたのですが…。

(-1+i)/2*1/(s+1-i) = 1/2 * (-1+i)/(s+1-i)...(2)

(1)と(2)を比べると、

a=1-i なので

(-1+i)e^{-(1-i)t}/2

となると思うのですが。

＞ これを計算していけば[3]になります。

申し訳ありません、どのように計算したらいいのでしょうか。
言葉でいいので「～したらできる。」と教えて頂けないでしょ
うか。