逆ラプラス変換について

質問

こちらの質問は、以下のＵＲＬで投稿させて頂いた問題の続きに当たります。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4837739.html

Tは正の実数です。

G(s)　=　2T{e^(-sT)　-e^(-2sT)}　+{1　-e^(-2sT)}/s　

以上の式を逆ラプラス変換すると、

g(t)　=　2TH(_T)(t)δ(t-T)　-2TH(_2T)(t)δ(t-2T)　+1　-H(_2T)(t)

となるので正しいのでしょうか。H(_a)(t)はヘヴィサイドの単位関数で、aが添え字を表しています。

(1)e^(-as)F(s)を逆ラプラス変換するとH(_a)(t)f(t-a)となり、1を逆ラプラス変換でδ(t)なので、e^(-sT)を逆ラプラスするとH(_T)(t)δ(t-T)となると考えた。
(2)H(_a)(t)f(t-a)となるが、{e^(-sT)}/s　なら1/sが定数1と変換されるため、H(_2T)(t)に変換されると考えた。

上記2点がはっきりしません。どなたかお教え下さい。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>g(t)　=　2TH(_T)(t)δ(t-T)　-2TH(_2T)(t)δ(t-2T)　+1　-H(_2T)(t)
間違いです。
g(t)=　2Tδ(t-T)-2Tδ(t-2T)　+u(t)-u(t-2T)
or
g(t)=　2Tδ(t-T)-2Tδ(t-2T)　+1-u(t-2T)(t≧0), g(t)=0(t<0)
が正解。
ここで、
δ(t)=du(t)/dt
(ただし,Laplece変換におけるδ(t)の定義は普通のδ(t)と少し異なるので注意）
u(t)：単位ステップ関数、unit-step function(Heaviside step function).

お書きのようなHeaviside step functionの書き方はあまり見たことはないですね。書くとすれば u(t-T) ⇔ H(t-T) or Heaviside(t-T) と書くのが一般的。

参考URL）
http://www.intmath.com/Laplace-transformation/1a_Unit-step-functions-definition.php

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html

お礼

なるほど、そのように表記するのですね。
参考ＵＲＬも助かります。ありがとうございました。