ラプラス逆変換

質問

ステップ関数（ｓ軸上の関数）
u(s-a) s>a:1, s<a:0

この関数の逆ラプラス変換は解けるのでしょうか？
一般にu(t-a)のラプラス変換は解けると思うのですが
上記のような場合はどうなるのでしょうか？

ご存知の方がいらっしゃいましたら、ご教授願います。
よろしくお願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2のコメントについてです。

> 例えば、「S>a」の時、exp(at)の逆ラプラス変換は1/s-aと定義されるのはなぜ
> なのでしょうか？

　このご質問自体が間違っています。1/(s-a)はexp(at)の（「逆ラプラス変換」じゃなくて）ラプラス変換。それから、『 「S>a」の時』の”S"って何の事でしょうか。0>aなら分かりますが。

> 一般に、どんな関数でも逆ラプラス変換をする時、ｓは純虚数で無いと駄目なの
> でしょうか？

　いいえ、違います。 （ANo.2を再読して下さい。）

　どうもこのご質問は、ラプラス変換のキホン的なところを理解なさっていないために生じたものではないかと想像します。

●ラプラス変換は（数値から数値への変換ではなくて）『実関数fから、複素関数Fへの変換』です。ここで、（おおざっぱに言って）fの定義域は正の実数、fの値域は実数であり、Fの定義域は複素数、Fの値域も複素数です。

●ある実関数fをラプラス変換して得られた複素関数Fについて、その逆ラプラス変換は、ご存知でしょうけれど
f(t) = (1/(2πi))∫F(s)exp(st)ds （積分範囲はsの実部が定数cであるような複素平面上の直線。cは正の実数。iは虚数単位。exp( )は指数関数。）
です。この積分によって、cが幾らであっても、同じfが得られるところがちょっと面白いですね。

　さて、逆ラプラス変換の積分が計算出来るためには、最低限、ある正の実数cと任意の実数pについてF(c+ip) が定義されていなくてはなりませんよね。なので、Fの定義域が実数だけとか、純虚数だけとかに限定されていたんでは駄目です。で、

> 実は、ステップ関数のｓを実数（虚数項がゼロの特別な複素数）としているので

に依れば、仰るところの「u(s-a)」は定義域が実数だけである。だからこの「u(s-a)」はそもそも逆ラプラス変換の対象になりえません。

お礼

ようやく理解できました。
お付き合い頂き、ありがとうございました。

回答No.2

stomachman

ANo.1のコメントについてです。

　複素数においては普通の意味での順序「>」は定義されません。（たとえば、虚数単位iは1より大きいですか、それとも小さいですか？）
　ところで、「複素数軸」って何でしょうか。
　ちなみに、uの逆ラプラス変換が定義されるためにはsは純虚数ではだめで、uの定義域は少なくとも「純虚数を除く複素数全体」である必要があります。

補足

素人質問ですみません。

>複素数においては普通の意味での順序「>」は定義されません。
例えば、「S>a」の時、exp(at)の逆ラプラス変換は1/s-aと定義されるのはなぜなのでしょうか？

>uの逆ラプラス変換が定義されるためにはsは純虚数ではだめで、
一般に、どんな関数でも逆ラプラス変換をする時、ｓは純虚数で無いと駄目なのでしょうか？

実は、ステップ関数のｓを実数（虚数項がゼロの特別な複素数）としているのですが、それは定義として間違っているのでしょうか？

たびたびすみません、
お願いいたします。

回答No.1

stomachman

逆ラプラス変換を求める以上は、sは複素数でしょう。で、ご質問の"s>a"ってどういう意味でしょうか。つまり複素数におけるステップ関数uをどう定義なさったのか、そこんとこがはっきりしさえすれば、逆変換の公式通りで計算できると思いますが。

補足

早速の回答ありがとうございます。
良く理解できていないので、間違っていましたらご指摘下さい。
"s>a"は、sが複素数軸でaが実数です（虚数項がゼロと考えています）。このときsがaよりも大きい時、値が１となっています。
また、s<aの時は、値が０となっています。

この様なステップ関数uの逆ラプラス変換はどうなるのでしょうか？
また、色々探したのですが、公式にはこの様な逆ラプラス変換はどこにもないようでした。

よろしくお願いいたします。