数学 三次方程式

質問

問) 三次方程式 x^3-3√2x^2+9x-a=0 の異なる３つの解の実部が全て等しいとき、その実部は(1)であり、実数aの値は(2)である。

答) (1)√2 (2)5√2

上記の問題の解き方の解説をお願いします。
2015年度南山大学経済学部A方式の数学の問題です。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

３次方程式は以下の２つの場合しかありません。
1）3この実解を持つ。
2）１この実解と共役複素数をなす2解を持つ

1）の場合。
要するに３重実根pを有する場合であって、
x^3-3√2x^2+9x-a=(x-p)^3=x^3-3px^2+3p^2x-p^3
が成り立たなければならない。右辺を展開して両辺比較すると

3p=3√2 ⇒ p=√2
3p^2=9 ⇒ p=±√3

この両者が成り立つことはない。従ってこの場合は題意に適さない。

2)の場合

解はp,p+iq,p-iqで与えられる。
解と係数の関係より
p+p+iq+p-iq=3p=3√2 (1)
p(p+iq)+p(p-iq)+(p+iq)(p-iq)=3p^2+q^2=9 (2)
p(p+iq)(p-iq)=p(p^2+q^2)=a (3)
(1) ⇒ p=√2, これを(2)に代入してqを求めるとq=±√3, p,qを(3)に代入すると
p(p+iq)(p-iq)=p(p^2+q^2)=√2(2+3)=5√2=a

答) (1)p=√2 (2)a=5√2

回答No.2

chirakuma

実部が等しいので
実部：α
虚部：βとして
3次方程式は一つ以上の実数解をもつため
一つの実数解と二つの虚数解を持つと仮定して

x^3-3√2x^2+9x-a=(x-α)(x-α-βi)(x-α+βi)
=x^3-3αx^2+(3α^2+β^2)x-α^3-αβ^2

係数を比較して

3√2＝3α

よりα＝√２　（１）

9=(3α^2+β^2)=(3*2+β^2)=6+β^2
β^2=3
β=±√3

-a=-α^3-αβ^2
=-2√2-3√2=-5√2

a=5√2　（２）

答えはあっているような気がします。