- 締切済み
置換積分
l=∫(0→2√2)6t√t^2+1dt ・・・(1) において、 u=t^2+1とおくと、2tdt=du t=0のとき u=1,t=2√2のとき u=9 ゆえに l=∫(1→9)3√udu ・・・➁ tで積分から、uで積分への計算がわかりません。 dt=du/2tを(1)に代入したのでしょうか。 (1)から、➁への計算を教えてください。
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
- shintaro-2
- ベストアンサー率36% (2266/6244)
関連するQ&A
- 積分
積分について u=t^2+1とおくとき (t^2+1)’×dt=2t×dt=du ※dはdeferrencialで微小の意味。 上記のようになるのはわかるのですが、 (t^2+1)’×dt=2t×dt=du =u'×du となるのはどうしてでしょうか。 u=t^2+1なのでこの微分がu'なのはわかるのですが。 このあとどうして微小のuなのでしょうか。 同じような問題で cosθ=tとおいたとき (cosθ)’×dθ=-sinθ×dθ=dt つまりt=cosθの変化量 =t'×dt (cosθ=tの瞬間変化率に微小のtをかけるとはたとえば図形的にはどう理解するのか。ここらへんもよくわかりません。) となるのはどうしてでしょうか。 どうかよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 指数関数の積分
∫[-∞,0] (1/√(2π)) e^{(-u^2)/2} du =(1/√(2π)) ∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du この部分の解き方を教えて下さい。 ∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du 多分、置換積分だと思いますが解けません。 f(t) = e^t t = g(u) = -(1/2)u^2 f(g(u)) = e^{-(1/2)u^2} t = -(1/2)u^2 dt/du = -(1/2)(2)u dt/du = -u dt = -u du ただ、この形だと ∫[-∞,0] e^{(-u^2)/2} du に適用できません。 ∫[-∞,0] u e^{(-u^2)/2} du のようにuが掛けられてたら適用できたと思います。 どうかこの積分が終わるところまで解いて下さい。 つまり、 [e^(???)][-∞,0] の形になるまでお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 畳み込み積分のラプラス変換
畳み込み積分 f * g = ∫[0,t] f(τ) g(t-τ) dτ のラプラス変換が式 L[f * g] = L[f(t)]L[g(t)] の性質を満たすことを示そう。 L[f * g] = ∫[0,∞] (f * g) e^(-st) dt = ∫[0,∞] {∫[0,t] f(τ) g(t-τ) dτ} e^(-st) dt ←ここから = ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ = ∫[0,∞] f(τ) {∫[0,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ ←ここまで : (これ以降は理解できました) = L[f(t)]L[g(t)] ・・・という例が本に載っています。 途中をどうやって計算しているのかが分かりません。 自分で考えてみますと、 = ∫[0,∞] {∫[0,t] f(τ) g(t-τ) dτ} e^(-st) dt = ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ の間は、内側と外側の積分を交換したみたいですね。 ただ、その際に ∫[0,t]が外側に行って∫[0,∞] ∫[0,∞] が内側に行って{∫[τ,∞] に変換されています。ここがまず分かりません。 次に = ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(t-τ) e^(-st) dt } dτ = ∫[0,∞] f(τ) {∫[0,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ の間は u = t-τ と置いて、 t = u+τ とも置いているようです。 でも、それらを適用しただけだと = ∫[0,∞] f(τ) {∫[τ,∞] g(u) e^{-s(u+τ)} du } dτ と、∫[τ,∞]の開始点はτのままになってしまいますよね? なぜ、0になってしまったのでしょうか? 多変数の微積分のところで二つの積分を重積分にするのをやりましたが、すっかり忘れました。 復習の意味も込めて教えてください。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一次無理関数の置換積分が分かりません
1/{x-2√(x-1)}の不定積分を求める問題で、t=√(x-1)とすると、 x=t^2+1、dx=2tdtとなり、∫2t/(t^2-2t+1)dt までは出来たのですが、この先が分かりません。 どなたかお教え下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分計算
積分の計算をしたのですが 解答と違うのでどこが違うか指摘をお願いします 問題 ∫dx/√((x-1)^2-1) (範囲は2から4)・・(1) 解答では (1)=log|x-1+√(x(x-2))| となるので log|x-1+√(x(x-2))|=log(3+2√2) そして自分の回答 x-1=1/costとおいて tの範囲が0からα(ただしcosα=1/3 sinα=2√2/3) dx=(tant/cost)dt (x-1)^2-1=(1/cos^2t)-1=tan^2t よって ∫(1/tant)(tant/cost)dt=∫(1/cost)dt=∫(cost/(1-sin^2t))dt ここで sint=uとして uの範囲が0から2√2/3 du=costdt ∫(1/1-u^2)du=1/2∫(1/1+u^2)+(1/1-u^2)du =1/2log(1+u)(1-u) =1/2log1/9 となってしまします よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 置換積分法についてです。
使いわけを教えてください。今自分が習っている内では置換積分法は2種類あります。 ひとつは、∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt もうひとつは、∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du です。 このふたつをどう使いわけたらいいかがわかりません。どんな時に前者、どんな時に後者、という感じではっきりできませんか?ご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
お返事ありがとうございます。