自己インダクタンス

質問

2本の半径aの長い導線が間隔dで並行に置いてあり、逆向きの電流Iが流れている。この平行導線の長さlあたりの自己インダクタンスはL=(μl/π)log(b/a)であることを示せ

という問題なんですが、途中計算で
Φ=2×(μIl/2π)×[dr/rをaからa-dで積分]
と書いてありました。なぜaからa-dで積分するのですか？
間隔はdなのだからΦ=2×(μIl/2πd)じゃないのですか？

回答No.1

mmitsukuni

質問文に何カ所か誤りがありますね．

片方の導線から垂直にrだけ離れた点の長さl当たりの磁束密度は
　Φ=(μIl/2π)｛1/r＋1/(d-r)}
｛この段階で級数展開でd>>aを使って近似すれば質問者の途中式になるが，
　この式は簡単に積分できるので，そんな必要はない｝

第１項が片方の電線，第２項がもう一方の導線による磁束密度．
この式を「２つの導線の間」で積分すればよい．
だから積分区間はaから「d-a」(a-dではない)までになります．

結果は，Φ=(μIl/π)log((d-a)/a)　となり、L＝Φ/I　で求まる。

解は求まっているので d>>a を使う必要はないが、dが無視できないくらい
近接していると両者の電流の電磁誘導の影響で磁界が同心円状から乱れるので、
初期の磁束密度の式が成立しない。（わずかに影響を受ける。）
その意味では d>>a により近似したほうが前提にあっているかもしれない。
この結果　L＝Φ/I=(μl/π)log(d/a)　と、解答の式となる。

お礼

お礼が遅くなってすみません。
回答ありがとうございます