ソレノイドのインダクタンス

質問

長さl、半径a、巻き数Nのソレノイドコイルがある。
内部に鉄芯を使う。表皮厚をd(=√(2/ωσμ))とする。
鉄芯入りソレノイドコイルにf=1kHzの正弦波電流を流したときのインダクタンスを求めよ。
ただし、鉄芯内部の磁束密度の振幅は半径rの関数としてBo*exp((r-a)/d)で与えられるものとする。

という問題なのですが、どうやって解けばいいでしょうか。
インダクタンスをLとすると、Φ=LIですから、電流に依存すると思ったのですが
正弦波電流の場合は、電流の振幅によらず周波数だけで求まるのですか？

ご教授願います。よろしくお願いします。

回答No.3

FT56F001 · ベストアンサー

> L=2π(N^2/l)d(a-d)sinωt
> なってしまい、sinωtが残ってしまったんですが、、どうでしょう。。
> そもそも、磁束密度は時間変化しない？？のですか。
交流電流をコイルに流すと，
磁束密度や磁束は同じ周波数で時間変化します。

瞬時値: 時間関数としての電流 i(t)
波高値:　I i(t)=I sinωt の 振幅
の二通りの表し方があるので，区別して下さい。

電流の瞬時値を考えて i(t) = I sinωt とおいたのなら，
磁束の瞬時値 Φ(t) = L i(t)，

波高値だけ考えて電流をIとおいたのなら，
磁束の波高値 Φ = LI

とおきます。いずれも，Lは時間に依存しない定数です。

補足

瞬間値で考えた場合、
B=Bo*exp((r-a)/d)*sin(ωt)
Bo=μoN*i(t)/U
Ψ=2πμo(N^2/U)*i(t)*d(a-d)sinωt=Li(t)
i(t)=Isinωt

波高値で考えた場合、
B=Bo*exp((r-a)/d)
Bo=μoN*I/U
Ψ=2πμo(N^2/U)*I*d(a-d)=LI
L=2πμo(N^2/U)d(a-d)

と考えました．波高値の場合は、磁束密度Bのsinωtをとって、tに依存しない値になったのですが、
瞬間値で考えたときはやはりsinωtが消えないと思うのですが、どうでしょうか。

（電流のIと長さのlが分かりにくいので、長さの方をUと書き換えました．）
なんか丁寧に教えて頂いているのに理解できなくて申し訳ないです．．

回答No.4

FT56F001

>瞬間値で考えた場合、
>B=Bo*exp((r-a)/d)*sin(ωt)
>Bo=μoN*i(t)/U
のおき方は変です。B0が既に時間の関数sin(ωt)を含んでいますから，
B=Bo*exp((r-a)/d)
でいいです。

お礼

そうなんですか！
問題文に「振幅は」とあったので、振幅だと思っていたのですが、
Boが鉄新表面の磁束密度だと考えると、Boがtの関数でないといけないですね。。
ずっとBoが定数だとばかり思っていましたから．．
ありがとうございました。

回答No.2

FT56F001

> 鉄芯の断面を鎖交する磁束は
> Φ=∫B*2πrdr　（積分範囲は0からaまで)
> となると思いました。ここまではどうですか？
これは鉄心を通る磁束Φなので，
このN倍がコイルと鎖交する磁束Ψですね。

> で、その後なのですが、ここからどうやってインダクタンスまで結びつけれるのですか？
鉄心表面の磁束密度B0は，
ソレノイドが鉄心の外部に作る磁界H = NI/l から
B0 = μ0*H で決まります。
コイルの鎖交磁束Ψ=LIとおけば，Iが消えて，
インダクタンスLが求まります。

補足

素早い回答ありがとうございます。。

計算してみました。
Ψ=2πNBo(a-d)dsinωt=LI
Bo=μoNI/lだから、
L=2π(N^2/l)d(a-d)sinωt
なってしまい、sinωtが残ってしまったんですが、、どうでしょう。。
そもそも、磁束密度は時間変化しない？？のですか。
その辺が再び混乱してきました。。

回答No.1

FT56F001

簡単には，インダクタンスLは一定値，
すなわち周波数，電流に依存しないと扱い，
磁束が電流に比例する(Φ=LI)と扱います。
空心コイルではこの考え方でよいのですが，
鉄心があると周波数や電流によりインダクタンスが変化します。

・インダクタンスの周波数依存性
　高周波になると，うず電流により鉄心内部への磁束が侵入できなくなり，インダクタンスが下がる。
・インダクタンスの電流特性
　電流が大きくなると，磁気飽和(BHカーブ)により，インダクタンスが下がる。

この問題は，表皮効果，すなわち，
うず電流によって鉄心内部への磁束の侵入が妨げられるため，
鉄心の表面だけしか磁束が通らない性質によって，
インダクタンスが周波数特性を持つことを考えようとする問題です。

インダクタンスの電流依存性はなく
(すなわち，磁気飽和するほどの大電流は流さないと仮定する)，
周波数特性だけを問題にすればよいと思います。

計算方法としては，
磁束密度の分布を指数関数で仮定していますから，
それを鉄心の断面について積分すればよいでしょう。

周波数を1kHzと指定するわりに，
鉄心材料の物性値σ，μ を指定しないのは(純鉄，珪素鋼，フェライト?)，
分かりづらい問題設定ですが???

補足

回答ありがとうございます。

磁束密度の振幅がBo*exp((r-a)/d)なので、
磁束密度の時間変化をB=Bo*exp((r-a)/d)*sin(ωt)
とおいて、(ω=2πf)
すると、鉄芯の断面を鎖交する磁束は
Φ=∫B*2πrdr　（積分範囲は0からaまで)
となると思いました。ここまではどうですか？
で、その後なのですが、ここからどうやってインダクタンスまで結びつけれるのですか？
そこからが分からなかったです。もしかしたら私の知識あるいは理解不足かもしれません。。