合成インダクタンス

質問

複数のコイルを並列に接続した場合、直列に接続した場合の合成インダクタンスの求め方を教えてください。
できるだけ、微分積分を使わないでお願いいたします。
よくわからない図書なのですが、それによれば並列の場合は定電圧電源をつかい、直列の場合は時間的に電流が変化する電源をつかっています。なぜこのような使い分けになるのでしょうか。
さらに、電源電圧V、電流がi、インダクタンスがLとすると
i ＝１/L・∫V・dt
となるとあるのですが、この式はどのような意味を表しているのでしょうか。いろいろな図書には
e＝-L・di/dtという式があり、このｅは誘導起電力であり電源電圧ではありません。このＶとEの関係はわかりますでしょうか。何卒よろしくお願いいたします。

回答No.3

ruto

>微分積分を使わないでお願いいたします
合成インダクタンスを求めるのに微積を使わない方法は、合成リアクタンスを使えばどうでしょうか、例えばωL1とωL2を直列に接続すれば
ωL0＝ω（L1+L2)　　　∴L0＝L1＋L2
並列の場合も同様にL0＝（1/L1＋1/L2)^-1＝L1・L2/（L1+L2)
これは抵抗を並列に接続する場合と同じです。

回答No.2

inara

ANo.1です。
【訂正】
（誤）V で割って V を消せば、1 = L/( 1/L1 + 1/L2 )
（正）V で割って V を消せば、1 = L*( 1/L1 + 1/L2 )

コンデンサの合成容量も同じ考え方ですよ。

（電圧の式）　V = 1/C*∫i dt
（電流の式）　i = C*dV/dt

で、並列接続のときは、同じ電圧なのので「電圧の式」を使い、直列接続のときは同じ電流なので、「電流の式」を使います。

回答No.1

inara

「e＝-L・di/dt」の マイナス符号は間違いでは？

「e＝L・di/dt」の e は、　「i ＝１/L・∫V・dt 」の V のことです（同じ電圧のこと）。
「i ＝１/L・∫V・dt 」を時間 t で微分すると、 di/dt = V/L ですから V = L*di/dt と同じ式です。

>並列の場合は定電圧電源をつかい、直列の場合は時間的に電流が変化する電源をつかっています

「e＝L・di/dt」の e は定電圧源という意味ではありません（L が一定でも di/dt が変化しているので一定のはずがない）。コイルの両端の電圧です。この電圧は、電流の時間変化率（di/dt）に比例している（比例係数がL）という意味です。同様に、　「i ＝１/L・∫V・dt 」の i も定電流源という意味ではありません。i はコイルを流れる電流です。e= の式と、i= の式は同じことを表しているのですが、回路電流や電圧を計算するときに、電流で式を立てるときは i = を使い、電圧で式を立てるときは V = を使うだけの話です。以下、実際に計算してみます。

【並列の場合】
２つのコイルの両端の電圧は同じなので、「電圧」の式を使って

V = L1*di1/dt = L2*di2/dt --- (1)

という式が立てられます。L1とL2は合成前のコイルのインダクタンス、i1 と i2 はそれぞれのコイルに流れる電流です。したがって、並列接続された２つのコイルをまとめて１つのコイル L と考えれば、このコイルの電圧は同じ V　ですが、電流は ２つのコイルに流れる電流の和なので i1 + i2 です。つまり

V = L*d( i1 + i2 )/dt = L*( di1/dt + di2/dt ) --- (2)

となりますが。式 (1) から、 di1/dt = V/L1、di2/dt = V/L2 なので、式(2)は

V = L*d( i1 + i2 )/dt = L*( di1/dt + di2/dt ) = L*( V/L1 + V/L2)

V で割って V を消せば、1 = L/( 1/L1 + 1/L2 ) → 1/L = 1/L1 + 1/L2
これが並列接続したコイルの合成インダクタンスです。

【直列の場合】
２つのコイルを流れる電流は同じなので、「電流」の式を使って

i ＝１/L1*∫V1 dt =１/L2*∫V2 dt --- (3)

という式が立てられます。L1とL2は合成前のコイルのインダクタンス、V1 と V２ はそれぞれのコイル両端の電圧です。したがって、直列接続された２つのコイルをまとめて１つのコイル L と考えれば、このコイルに流れる電流は同じ i ですが、電圧は ２つのコイルの和なので V1 + V2 です。つまり

i ＝１/L*∫V dt = １/L*∫( V1+V2 ) --- (4)

となります。式 (3)を時間 t で微分して変形すれば、V1 = L1*di/dt、V2 = L2*di/dt なので、式(4)は
i ＝１/L*∫V dt =i ＝１/L*∫( V1+V2 ) = １/L*∫( L1*di/dt + L2*di/dt ) = ( L1*i + L2*i )/L = i*( L1 + L2)/L
i で割って i を消せば、1 = ( L1 + L2)/L→ L = L1 + L2
これが直列接続したコイルの合成インダクタンスです。

お礼

ありがとうございます。
これらの説明には微分・積分は欠かせないものかと思いますが、
これらを使わない平易な説明方法はありませんでしょうか。
また、ここでのVは電源電圧ではなく、誘導起電力という理解でよいのでしょうか。