電磁気学 インダクタンスに関する質問

質問

インダクタンスの自己インダクタンス，相互インダクタンスに関する質問です。

インダクタンスの直列接続において、以下の式はよく語られています。
L = L1 + L2 ± 2M
(記号の意味はこの分野の方ならわかると思うので割愛します)
この関係から
L ∝ N^2
という関係も連想できたのですが

では、相互関係のあるインダクタンスの並列接続についてはどのような関係が成り立つのか？
ということを考えたのですが、いまいち確証が得られない考察になりました。
それは以下のような式です。
L = (L1+M)*(L2+M) / (L1+L2+2M)

この式はなんとなくエネルギー保存則に反しているような気がするのですが、果たして正しい考察といえるでしょうか？

回答No.3

info22 · ベストアンサー

相互インダクタンス(±M)を持つインダクタンスL1、L2を並列に接続した時個々のL1,L2に流れ込む電流をi1,i2とおく。この結合をもつL1とL2の並列回路を１つの等価な合成インダクタンスLで表し、Lに流入する電流iは
同じ電圧源vに接続するとき
v=Ldi/dt…(A)
i=i1+i2…(B)
これを微分
di/dt=d(i1)/dt+d(i2)/dt…(B')

一方
v1=L1d(i1)/dt± Md(i2)/dt…(C)
v2=L2d(i2)/dt±Md(i1)/dt…(D)
並列接続では
v=v1=v2…(E)
(C),(D)に(E)の関係からv1,v2をvで置き換えた
v=L1d(i1)/dt± Md(i2)/dt…(C')
v=L2d(i2)/dt±Md(i1)/dt…(D')
（符号同順）
を「d(i1)/dt」と「d(i2)/dt」を未知数と考えて連立方程式として解けば
d(i1)/dt=((1))v　…(E)
d(i2)/dt=((2))v …(F)
(E),(F)を（B')に代入すれば
di/dt=v/L=((1)+(2))v
となります。
この式から
L=1/((1)+(2)）=(L1+L2-M^2)/(L1+L2±2M)
が出てきます。

(1)、(2)は計算してみて下さい。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
完璧に納得しました。

回答No.4

foobar

計算手順は＃３さん回答にあるとおり。

（個人的には、
・最初にdi1/dt, di2/dtをv1,v2で表しておいて、それからv=v1=v2を代入し、di/dt=di1/dt+di2/dtを求める手順が好き
・Mの極性はMの値の正負で表す（L+Mの形の表記を使う）のが好き
ですが。）

お礼

すばやい回答ありがとうございました。
手間を鑑みてinfo22を良回答させていただきました。ご容赦ください。

回答No.2

info22

＃１さん考え方で良いと思います。
ただし相互インダクタンスMには結合の極性がありますのでMに±の値をもつと考えればA#1の式で良いです。Mは大きさだけ（正の値）を意味するのだとすれば、A#1の式や結果のLの式Mの前に±をつけた方が良いと思います。

補足

補足説明ありがとうございます。

ANo.1さんにもお願いした手前恐縮ですが、この式の導出方法を教えて頂けないでしょうか？

di/dt = di1/dt + di2/dt

のところの扱い方がいまいちわかりませんでした。

回答No.1

foobar

v1 = L1 di1/dt + M di2/dt
v2 = M di1/dt + L2 di2/dt
で並列接続から v1=v2=v,i= i1+i2 の関係をいれて計算すると
v=(L1 L2-M^2)/(L1+L2-2M) di/dt
したがって，合成のインダクタンスは(L1 L2-M^2)/(L1+L2-2M)
となるようです．

補足

回答ありがとうございます。
手間でなければ、式の導出過程をご教授お願いできますでしょうか？

当方の数学力ではうまくもっていけませんでした。