自己インダクタンスの計算

質問

2本の半径aの長い導線が間隔bで平行に置いてあり，逆向きの電流Iが流れている．おの平行導線の永さdあたりの自己インダクタンスLはL=(μdlog[(b-a)/a])π (μは真空中の透磁率) となることを示せという問題があるのですが，2辺の長さがb,dの長方形を貫く磁束Φを考えると，2本の導線Gが磁場を貫くのでΦ=2μId∫[a→(b-a)]dr/rという式が導かれています

私にはなぜこのような式が導かれるのかがよくわかりません．
またどのような図で考えればいいのかもよくわからないです・・・．
なぜこのような結果が導かれるのか分かる方がいらっしゃいましたら教えていただけるとありがたいです．

よろしくお願いします

回答No.2

noname#154783 · ベストアンサー

すみません．ANo.1に図を添付し忘れました．
改めて添付します．

お礼

わかりやすく説明をしていただきありがとうございました

回答No.1

noname#154783

直線電流が十分長いとき，直線電流 I からの距離が r の位置の磁束密度は

B = μI/(2πr)

と表されます．ただし，この式は直線電流の端の方では成り立ちません．

さて，この問題の状況は添付した図のようになっているんだと思います．
あんまり端の方でない領域(図中の灰色の領域)では，上の式が使えますので，
図の，濃い灰色の領域を貫く磁束は

ΔΦ
= {μI/(2πx) + μI/(2π(b-x))}d Δx
= μId/(2π) {1/x + 1/(b-x)}Δx.

∴Φ
= ∫dΦ
= μId/(2π) ∫[a,b-a]{1/x + 1/(b-x)}dx
= μId/(2π) { log( (b-a)/a ) - log( a/(b-a) ) }
= μId/π log( (b-a)/a ).

これが，導線の長さ d あたりの磁束．

したがって，長さ d あたりの平行導線の自己インダクタンスは

L = Φ/I = μd/π log( (b-a)/a ).