x^3の求め方について

質問

初歩的な質問申し訳ないのですが、x^3=10はどうやってxの値を求めればいいのでしょうか？

2乗の時みたいに平方根を用いるなど、何かいい方法があるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

とりあえずxを実数としてx^3=10 を満たすxの数値(10の立方根(3乗根))を求めるだけならば、関数付き電卓(パソコンのwindowsのアクセサリーにもある)で10→y√x→3と入力すれば計算できます。

2.1544346900318837217592935665194　と計算してくれるはずです。(これはwindows8.1付属の電卓で計算した値)

なお「y√x」というキーは、前に入力した数値(x)のy乗根を求めてくれるキーで、10→y√x→2と入力すれば平方根が求められます。

もちろん、手計算で求めることもできます。
x^3=10
2^3=8<10<3^3=27 だから　2<x<3
2.1^3=9.261<10<2.2^3=10.648 だから　2.1<x<2.2
2.15^3=9.938375<10<2.16^3=10.077696 だから　2.15<x<2.16

これを、もっと効率的に行う「開立法」という筆算での計算方法もあります。(下に添付した計算)これは、メインの計算部分である主運算と二つの副運算を使うもので、副運算が一つですむ平方根を求める「開平法」(1960年代に中学校で習いました)よりも複雑です。もっとも部分部分は単純な足し算・掛け算・引き算なので、落ち着いて丁寧に計算すれば難しくはありません。ただし、桁数が増えると面倒なので、近似計算を試みました。

以下の計算法は3次方程式の3次(や2次)の項を無視するやや乱暴な方法ですが、簡単な割には相当の桁まで正しい結果が得られます。

x^3=10 2<x<3 だから　x=2+y (0<y<1) とおけ、これをx^3=10に代入して整理すれば、3次方程式　y^3+6y^2+12y-2=0 　が得られる。

0<y<1 より　3次の項は2次以下の項と比較して小さいので無視すれば
2次方程式　6y^2+12y-2=0 となり、0<y<1 を見たす解は
y=(-3+2√3)/3≒0.1547…　2.154^3<10、2.1547^3>10 だから　x≒2.154

この計算法では、極めて小さいが0ではない正の3次の項を無視しているため、解の値は3次方程式の真の解よりも必ずわずかに大きくなります。ということは、ある桁までの3乗が10未満であることが確認できれば、その桁までの数値は立方根の真の値のその桁までの数値と一致するはずです。

さらにx=2.154+z 　( 0<z<1/1000) とおけ、これをx^3=10に代入して整理すれば、
3次方程式　z^3+6.462z^2+13.919148z-0.006051736=0 …(1)同様に3次の項を無視すれば
2次方程式　6.462z^2+13.919148z-0.006051736=0　となり、条件を満たす解は
z≒0.0004346900378…で、 2.15443469003^3<10 、2.154434690037^3>10だから
x≒2.15443469003　小数第11位まで正しく求めることができます。

なお(1)の2次の項も無視して、1次方程式13.919148z-0.006051736=0　として解くと
x≒0.00043477…　となり　この概略計算でも　x≒2.154434　小数第6位までは正しく求められます。

なおx^3=10 について複素数解まで考えればこのほか
x=3√10(cos2π/3+isin2π/3)=3√10(-1/2+√3i/2)　と
x=3√10(cos4π/3+isin4π/3)=3√10(-1/2-√3i/2)　が加わります。（ただし 3√10は10の立方根(3乗根)の意味)

お礼

回答ありがとうございました。
大変おそくなり、申し訳ありません。
これからもよろしくお願いします。

回答No.4

alwen25

これは、初歩的ではないのですが。
３次方程式（しかも重解なし）なので、複素数の範囲では解は３つあります。

x^3=10を解けではなく、10の立方根を求めよという問題なら
No1,No2さんの方法で良いのですが。

ヒント
x^3-1を因数分解するとどうなるか。

お礼

回答ありがとうございました。
大変おそくなり、申し訳ありません。
これからもよろしくお願いします。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

＞初歩的な質問申し訳ないのですが、x^3=10はどうやってxの値を求めればいいのでしょうか？

１を３乗してみる。１×１×１＝１なので、ｘは１より大きい。

２を３乗してみる。２×２×２＝８なので、ｘは２より大きい。

３を３乗してみる。３×３×３＝２７なので、ｘは３より小さい。

よって、ｘは２より大きく、３より小さい。

2.1を３乗してみる。2.1×2.1×2.1＝9.261なので、ｘは2.1より大きい。

2.2を３乗してみる。2.2×2.2×2.2＝10.648なので、ｘは2.2より小さい。

よって、ｘは２.1より大きく、2.2より小さい。

2.11を３乗してみる。2.11×2.11×2.11＝9.393931なので（以下略）

＞2乗の時みたいに平方根を用いるなど、何かいい方法があるのでしょうか？

２乗でも、求め方は同じ。

２乗してみて、小さければ数値を増やし、大きければ数値を減らす。それは何乗でも同じ。

お礼

回答ありがとうございました。
大変おそくなり、申し訳ありません。
これからもよろしくお願いします。

回答No.2

spring135

手計算で平方根を求めたことはありますか。この計算方法は開平という名前がついています。

同じように手計算で立方根を求める計算方法があり、開立と呼ばれます。

しかし、開平をできる人は現在はまれでしょう。昔は私もなんとかできましたが今は自信ありません。

開立をできる人はヤンバルクイナ並みに希少でしょう。

関数電卓では適当なキー操作で簡単にできます。EXCELではA1に10を入れB1にカーソルを映して

=A1^(1/3)

としてやれば答えが出ます。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/root.htm

お礼

回答ありがとうございました。
大変おそくなり、申し訳ありません。
これからもよろしくお願いします。

回答No.1

f272

2乗なら平方根
3乗なら立方根

お礼

回答ありがとうございました。
大変おそくなり、申し訳ありません。
これからもよろしくお願いします。