立地モデルの均衡の問題につて

質問

同一の財を販売するライバル店の立地モデルを考える。

（a）のような区間の道路上に人々は一様に住んでおり、人々は自分の家に近い店に買いに行くとする。各店は自分の店への来客数を最大にすることを目的として好きな場所に出店する。（この場合両店とも区間の中点に出店）

（１）
（ｂ）のような円環上に人々は住んでおり、２店がこの円環上に出店し、人々はこの円環上の道路を通って近い店に買いに行くとする。均衡では二店舗はどのような位置に出店するか。（均衡が存在しない場合はなしと書け）

（２）同じく（ｂ）のケースで円環上に３店が出店するものとする。均衡では３店舗はどのような位置に出店するか。

という問題で、添付の画像が（ｂ）に当たるものですが、こういった問題の場合どう考えていけばよいのでしょうか？お時間のある方よろしくお願いいたします。

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

回答１の訂正です。回答１で

＞(2)(b)　３店が競争する場合も同様。各店が円周上を1/3の間隔で立地する戦略の組はナッシュ均衡だ。このような組は無数にあるので、ナッシュ均衡は無数にある。さらには、３店がすべて同一の地点に立地するという戦略の組も、(1)の(b)と同様の理由でナッシュ均衡であり、このようなナッシュ均衡も円周上の点の数だけ、したがって無数にあることになる。

と書きましたが、後半の「さらには、３店がすべて同一の地点に立地するという戦略の組も、(1)の(b)と同様の理由でナッシュ均衡であり、このようなナッシュ均衡も円周上の点の数だけ、したがって無数にあることになる。」の部分が正しくありませんでした。いま、円周の長さを１（したがって顧客数１）とし、3店が円周上の同一の点に立地していたとしよう。いずれかの店が円周上のちょうど反対側の点へ逸脱したとする。すると、その逸脱した店の顧客（利得）は1/3から1/2へ増えることになる。このように、逸脱することで、逸脱したプレイヤーの利得が増えるなら、当初の戦略の組はナッシュ均衡ではない。したがって、３店が円周上の同一の点に立地する戦略の組はナッシュ均衡ではない。

なお、(1)(b)の問題のように、円周上で２店が競争する場合は、両店が同一の点に立地することはナッシュ均衡であることは回答１で書いた通りなのです。このとき、各店の利得は1/2で、たとえば、いずれかの店が円周上の反対側の点に逸脱しても、利得（顧客数)は1/2で、利得は増えない。よって、当初の、両店とも同一の点に立地するという戦略の組はナッシュ均衡なのです。

お礼

丁寧な解説をしていただいてありがとうございました！とても分かりやすかったです。理解しました。

回答No.1

statecollege

均衡概念として、ナッシュ均衡を用いますが、この概念についてちゃんと勉強してあります？２人プレイヤーのゲームで、プレイヤー１はa１という戦略を用い、プレイヤー２はa2という戦略を用いたとすると、（a1,a2)を戦略の組（戦略プロファイル）といいます。戦略の組は、各プレイヤーが自分だけその組から逸脱しても、つまり自分だけ戦略を変更しても、自分の利得が増えないとき、ナッシュ均衡である、といいます。

(1)(a)の問題では、各店が自分の店舗を道路上の中間点に出店することがナッシュ均衡であり、かつそれ以外にナッシュ均衡がないことは明らかです。
・まず、両店とも中間地点に出店したとする（このとき顧客は両店が折半することになる）。　いまどちらかの店がそれから「逸脱」し、中間点の右側（あるいは左側）の地点に出店したとする。すると、その逸脱した店の顧客は右側（左側）全部と逸脱しなかった店との間の顧客の半分との合計になる。たとえば、道路の長さ（顧客数）が１だとすると、逸脱しなければ、各店が獲得する顧客数（利得）は1/2だが、どちらかが直線の1/3の地点へ逸脱するなら、その店の顧客数は1/3 + 1/12 = 5/12へと減少してしまう。逸脱することによって利得は増えないので、当初の、どちらの店も中間点に出店することはナッシュ均衡なのである。
・なお、両店が中間点に出店するという戦略の組以外にナッシュ均衡が存在しないことはあきらか（確かめられたい！）

(b)　円周上のどの点でも、どちらかが出店し、その反対側にもう一つの店が出店するという戦略の組がナッシュ均衡であることは上と同様の議論によってあきらか。（円周の長さを１とすれば、両店の利得（顧客数）はそれぞれ1/2だ）。このような組は円周上のどの点についてもあるので、均衡の数は無数にあることになる。それだけでなく、円周上の同じ点に両方の店が出店するという（戦略の）組もナッシュ均衡であり（この場合も各店の利得は1/2）、そうした均衡も円周上の点の数だけある（無数）にある。

(2)(b)　３店が競争する場合も同様。各店が円周上を1/3の間隔で立地する戦略の組はナッシュ均衡だ。このような組は無数にあるので、ナッシュ均衡は無数にある。さらには、３店がすべて同一の地点に立地するという戦略の組も、(1)の(b)と同様の理由でナッシュ均衡であり、このようなナッシュ均衡も円周上の点の数だけ、したがって無数にあることになる。