数学の質問です。

質問

数学の不定積分の質問です。

例えば

∫dx/[(x^2){(x^2-a^2)^(3/2)}]

という不定積分を計算する際に、
x=1/cosθと置いて計算するとします。
すると、計算の途中で

(sinθ)^2=(x^2-a^2)/(x^2)

という関係式が現れます。

ここで、問題集の解説では、
なんの説明も無しに

sinθ={√(x^2-a^2)}/x

としています。

そこで質問なのですが、何故、
sinθ=±{√(x^2-a^2)}/x
ではなく
sinθ={√(x^2-a^2)}/x
としているのでしょうか?

もしかして、不定積分において三角関数に
置換する場合、三角関数は正とするのが
決まりなのでしょうか?
(他の問題でも、例えば、
(tanθ)^2=x^2+1を
tanθ=±√(x^2+1)ではなく
tanθ=√(x^2+1)としていたりするので。)

回答No.1

noname#202459 · ベストアンサー

±にしてしまうとxからθへの対応一意に決まらなく成るので不可。
置換積分するときは必ず互いの変数（今の場合はxとθ）の間に微分同相の関係が必要です。

符号はどちらでも構いません。マイナスをつけたければそれで計算すればいいです。