解析

質問

教えてください！
以下の関数の極値を求めよ
f(x,y)=8x^(3)-y^(3)-6x+3y

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

参考URLの定理2を使って極値の判別をすれば良いでしょう。

f(x,y)=8x^(3)-y^(3)-6x+3y
fx=24x^(2)-6=6(2x+1)(2x-1)
fy=-3y^(2)+3=-3(y+1)(y-1)
停留点を求めると
fx=fy=0より　(x,y)=http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K111.pdf,(1/2,-1),(-1/2,1),(-1/2,-1)
fxx=48x,fyy=-6y,fxy=fyx=0

(x,y)=(1/2,1)について
fxx(1/2,1)=24>0,fyy(1/2,1)=-6,fxy(1/2,1)=fyx(1/2,1)=0,
ヘッシアンdet(H)=24(-6)-0=-144<0
定理2により(x,y)=(1/2,1)は鞍点。極値をとらない。

(x,y)=(1/2,-1)について
fxx(1/2,-1)=24>0,fyy(1/2,-1)=6,fxy(1/2,-1)=fyx(1/2,-1)=0,
ヘッシアンdet(H)=24*6-0=144>0
定理2により(x,y)=(1/2,-1)は極小点。極小値f(1/2,-1)=-4

(x,y)=(-1/2,1)について
fxx(-1/2,1)=-24<0,fyy(-1/2,1)=-6,fxy(-1/2,1)=fyx(-1/2,1)=0,
ヘッシアンdet(H)=-24(-6)-0=144>0
定理2により(x,y)=(-1/2,1)は極大点。極大値f(-1/2,1)=4

(x,y)=(-1/2,-1)について
fxx(-1/2,-1)=-24<0,fyy(-1/2,-1)=6,fxy(-1/2,-1)=fyx(-1/2,-1)=0,
ヘッシアンdet(H)=-24*6-0=-144<0
定理2により(x,y)=(-1/2,-1)は鞍点。極値を持たない。

(答)　極小値f(1/2,-1)=-4 、極大値 f(-1/2,1)=4

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K111.pdf

回答No.1

Tacosan

常道に従えばいいだけだと思うのですが, どこが分からないんでしょうか?